大话线性代数

超级导读 线性代数大厦建造史（必看）

磨刀不误砍柴工。只有把刀磨好了，砍柴时才会事半功倍。

1 考研数学线性代数就是一座大楼

运用比喻，生动形象地为大家展示线性代数之美。

2 帮你盖楼

我是一个小有名气的建筑师，我将和大家一起盖好这座六层的大楼。

3 第1章到第6章的内容

大家来看看吧，这里有每一章展开后的样子。

4 满分要这样才行

内因才是最重要的，大家要想考高分，就必须按本节所说的这样去做。

5 给大家的话

愿我的话能激励大家在最疲倦、最懈怠的时候，因为责任而坚持，因为担当而无畏。

第1章 第一层--行列式

所谓行列式，无非是有行有列的东西。同学们，你们分得清什么是行什么是列吗？如果分得清，就一定能学好行列式！

1.1 第一车砖--行列式长什么样

我们在了解新事物的时候，最好先能对此事物有一个直观的认识。

1.2 第二车砖--行列式的本质

看事物不能只看表面，还要看到事物的本质。

1.3 第三车砖--行列式的基本计算方法

如果大家认为行列式很难计算的话，那么在看完本节之后，一定会有不一样的感受！

1.3.1 特殊行列式的计算

1.3.2 一般行列式的计算

1.4 第四车砖--行列式的五条性质

干一件事情，不光要把它干出来，还要有效率。行列式的五条性质将会使得行列式的计算变得容易。

1.4.1 性质1

1.4.2 性质2

1.4.3 性质3

1.4.4 性质4

1.4.5 性质5

1.5 第五车砖--克拉默法则

克拉默法则是什么？它和行列式有什么关系？

1.6 第六车砖--矩阵

来看看矩阵与行列式的区别吧，它们可不是同一个东西！

1.7 第七车砖--矩阵的运算

矩阵的运算一共有三种，想知道是哪三种吗？

1.7.1 矩阵与矩阵相加

1.7.2 数字与矩阵相乘

1.7.3 矩阵与矩阵相乘

1.8 第八车砖--矩阵的转置

矩阵与行列式一样，都可以进行转置，而且无论是行列式还是矩阵，转置指的都是将第一行变为第一列，将第二行变为第二列……

1.9 第九车砖--方阵、对角矩阵、单位矩阵、逆矩阵

方阵是特殊的矩阵，对角矩阵是特殊的方阵，而单位矩阵又是特殊的对角矩阵……

1.9.1 方阵

1.9.2 对角矩阵

1.9.3 单位矩阵

1.9.4 逆矩阵

1.10 第十车砖--矩阵的向量表示法

矩阵可以用向量来表示，到底该怎么表示呢？

1.11 房间101--关于代数余子式的三句话

这三句话太重要了，考研中经常会考到。这是大楼第一层的第一个房间，大家一定要用心去搭建这个房间哦。

1.11.1 第一句话

1.11.2 第二句话

1.11.3 第三句话

1.11.4 真题分析

1.12 房间102--克拉默法则的推论

克拉默法则前面已经讲过了，可又有谁能想到，克拉默法则还有推论呢。

1.12.1 第一个充分必要条件

1.12.2 第二个充分必要条件

1.12.3 第三个充分必要条件

1.12.4 第四个充分必要条件

1.12.5 真题分析

1.13 房间103--关于行列式的两种计算题

前面的“砖”中所讲的行列式的基本计算方法还不够应对考研中所涉及到的行列式的计算题。要想轻松应对考研中的行列式计算题的话，就要认真阅读本节。

1.13.1 抽象行列式的计算

1.13.2 具体行列式的计算

1.14 房间104--贯穿考研试题的思维定势

第1章的最后一个房间，在这个房间中，我要告诉大家一个好消息--一个万能公式。

1.15 小结

1.16 练习题

1.17 结尾语

第2章 第二层--矩阵

矩阵就是矩形啊，就是长方形。同学们，你们知道什么是长方形吗？如果你们知道的话，还有什么理由学不好矩阵呢？

2.1 第一车砖--矩阵的初等变换

任何一个矩阵，都可以进行初等变换。那么，矩阵的初等变换究竟是什么呢？请阅读本节的内容。

2.2 第二车砖--初等矩阵

单位矩阵只经过一次初等变换后形成的矩阵称为初等矩阵。

2.3 第三车砖--矩阵的秩

矩阵的秩是线性代数学科中的一个至关重要的知识点，一个承上启下的“桥梁”。

2.3.1 矩阵的子式的定义

2.3.2 矩阵的秩的定义

2.3.3 利用初等行变换来求矩阵的秩

2.4 房间201--第一个大总结

这个大总结可以说是重要极了，它贯穿于整个线性代数学科。请大家一定要把这个大总结熟练地背下来。

2.5 房间202--第二个大总结

本节内容完全可以由矩阵的运算推出来，但是本节的内容并不多余。如果大家能够熟练地将本节内容背下来，做题速度将会大大加快。

2.6 房间203--矩阵乘法的两条算定律

矩阵乘法满足结合律，矩阵乘法对矩阵加减法满足分配律。

2.6.1 矩阵乘法满足结合律

2.6.2 矩阵乘法对矩阵加减法满足分配律

2.7 房间204--可交换的矩阵相乘特例

注意，矩阵乘法不满足交换律。但是，在本节的五个式子中，矩阵相乘是可以交换的。

2.8 房间205--关于矩阵转置的四个公式

之前给大家讲过矩阵的转置，本节将要给大家介绍关于矩阵的转置的四个公式。

2.9 房间206--关于矩阵可逆的六个公式

大家对于可逆矩阵并不陌生吧？既然如此，那么本节所讲的关于矩阵可逆的六个公式对大家来说应该也是没有难度的。

2.10 房间207--可逆矩阵、初等变换、初等矩阵、矩阵的秩之间的

关系以及等价矩阵

可逆矩阵、初等变换、初等矩阵以及矩阵的秩都已经给大家讲过了，房间207则是把这几个知识点融会贯通，使得同学们对于这部分知识的掌握达到考研的要求。

2.10.1 可逆矩阵与初等矩阵的关系

2.10.2 初等矩阵与初等变换的关系

2.10.3 初等变换与矩阵的秩的关系

2.10.4 初等矩阵的逆矩阵

2.10.5 等价矩阵

2.11 房间208--分块矩阵以及一些知识点的深化

本节对一些常考题型的解题方法做了归纳总结，使得同学们可以更加轻松快捷的解题！

2.11.1 分块矩阵

2.11.2 反对称矩阵

2.11.3 求一个矩阵的逆矩阵

2.11.4 特殊分块矩阵的逆矩阵

2.11.5 求一个矩阵的若干次幂

2.12 小结

2.13 练习题

2.14 结尾语

第3章 第三层--向量

同学们，你们矩阵都能学得那么好，而从矩阵中抽出一行或一列就是向量。也就是说，向量也是矩阵，只不过是特殊的矩阵罢了，更简单了。你们有理由学不好吗？

3.1 第一车砖--向量与向量组的基本概念

我们可以把向量组看成是一个大箱子，里面装着可爱的“向量们”。

3.2 第二车砖--线性表出的概念

“线性表出”也叫“线性表示”，是反映一个向量与一个向量组之间关系的专有名词。

3.3 第三车砖--线性相关与线性无关的概念

本节内容如果大家能掌握好，本章的后续章节就都不用怕啦！

3.4 第四车砖--最大无关组

“最大无关组”也称“极大无关组”、“最大线性无关组”、“极大线性无关组”。

3.5 第五车砖--“向量组的秩”的概念

啊！又出现了一个带“秩”的词！大家快来看看它是啥玩意儿吧！

3.6 第六车砖--“向量组的秩”与“矩阵的秩”的关系

“向量组的秩”与“矩阵的秩”都带“秩”字，它们到底有没有关系？

3.7 第七车砖--线性表出的推广

百尺竿头，更进一步。让我们将“线性表出”推广开来吧！

3.8 第八车砖--等价向量组

什么？难道不光是两个矩阵能等价，向量组也能？

3.9 房间301--关于线性相/无关要记的几个结论

理科有时也像文科，该记的就记，该背的就背！

3.10 房间302--方程组的求解

本节我要给大家讲的解方程组的方法与“克拉默法则”有什么区别呢？

3.10.1 求齐次方程组的通解

3.10.2 求非齐次方程组的通解

3.11 房间303--五个重要的定理

背下来！

3.11.1 定理1

3.11.2 定理2

3.11.3 定理3

3.11.4 定理4

3.11.5 定理5

3.11.6 真题分析

3.12 房间304--线性表出的本质

看到本质就一通百通啦！

3.13 房间305--初等行变换前后相应的列向量组具有相同的

线性相关性

本节是很有意思的一节，标题就是知识点，要搞明白哦。

3.14 房间306--与秩有关的八个公式

八大公式要背下来，务必！考研题中常在此处做文章。

3.15 房间307--向量空间

向量空间的不传之秘。

3.15.1 向量空间，基，维数，坐标

3.15.2 基变换公式

3.15.3 正交向量，正交矩阵，正交化

3.16 房间308--线性相/无关的证明题

本节要总结一下线性相/无关的证明题的解题方法。只要大家认真阅读，考研题中关于线性相/无关的证明题基本可以像刘翔一样迅速跨过。

3.16.1 方法1

3.16.2 方法2

3.17 小结

3.18 练习题

3.19 结尾语

第4章 第四层--解线性方程组

小学就学过解方程组，现在只不过是未知数个数多了一点儿。什么？你不会？你一定是在开玩笑。

4.1 房间401--求两个方程组的公共解

在第3章中，我们已经了解了如何求解齐次方程组和非齐次方程组。这一节我要告诉 大家的是如何求两个方程组的公共解。很简单，联立即可……

4.2 房间402--同解方程组的证明

“同解方程组”与上一节所讨论的问题“两个方程组的公共解”有共同点也有不同点。

4.2.1 方法1

4.2.2 方法2

4.3 房间403--已知齐次方程组的基础解系，反求齐次方程组

已知齐次方程组求基础解系这大家肯定是会了，如果反过来呢？已知齐次方程组的基础解系，该如何反求齐次方程组呢？

4.4 房间404--线性方程组解的性质

你了解线性方程组解的性质吗？如果还是一头雾霾，看完霾就散了。

4.5 房间405--通过讨论方程组中参数的取值，判断解的类型

方程组大家都会求解了吧？现在只不过是带参数的方程组而已，换汤不换药。

4.6 房间406--已知方程组解的类型，求方程组中的参数

如果上一个房间的解题方法掌握好的话，那本房间的落成简直不费吹灰之力。

4.7 小结

4.8 练习题

4.9 结尾语

第5章 第五层--特征值、特征向量、相似矩阵

当大家看到车的标志，就可以分辨“奥迪”、“宝马”和“奔驰”。车标就相当于“特征值、特征向量”。相似三角形了解不？相似矩阵比相似三角形更简单。

5.1 第一车砖--特征值、特征向量的基本概念

特征值和特征向量一定要搞透，才能进行之后的计算。

5.2 第二车砖--特征值、特征向量的计算方法

一个方阵的特征值和特征向量可以通过某种计算方法计算出来吗？废话！

5.3 第三车砖--对称矩阵、正交矩阵的复习

本节纯属复习，但相当有必要，结合其他知识，可以“温故而知新”。

5.4 第四车砖--矩阵有多少个特征值为零

第二车砖中，我们搞清楚了求特征值的方法。本节要讨论一个矩阵有多少个特征值为0。

5.5 第五车砖--相似矩阵

相似矩阵，顾名思义，真的很相似……

5.6 第六车砖--对角化

如果矩阵A可以相似于对角矩阵，则称矩阵A可以对角化。信老潘，就这么简单！

5.7 第七车砖--合同矩阵

合同矩阵与相似矩阵的定义式类似，所以请大家务必要区分清楚，记混是要犯错误的！

5.8 房间501--如何证明两个矩阵有相同的特征值

四种方法，一节搞定。

5.9 房间502--几个需要记住的结论

四条结论，务必背下。

5.9.1 结论1

5.9.2 结论2

5.9.3 结论3

5.9.4 结论4

5.10 房间503--与特征向量有关的证明题通常会用到反证法

有时，从结论出发，一顺到头才叫爽！

5.11 房间504--通过A的特征值、特征向量来推关于A的多项式的

特征值、特征向量

推理是很有意思的，破案。

5.12 房间505--什么样的方阵可以对角化

在本章的第六车砖中，我给大家介绍了对角化的概念。但是，并不是说任意的一个方阵A，就一定可以对角化！

5.13 房间506--若方阵可以对角化，那么 以及P怎么求

本节内容基于上一节内容，上一节弄明白了，本节就跟看小说一样。

5.14 房间507--关于相似矩阵的五个小结论

五个小结论，无穷大用途！

5.15 房间508--实对称矩阵的两个来自于不同特征值的特征向量

必正交

任何一个矩阵的两个来自于不同特征值的特征向量必线性无关，而对于对称矩阵来说，它的两个来自于不同特征值的特征向量不但线性无关，而且正交。

5.16 房间509--实对称矩阵一定可以相似于对角矩阵

在房间505中，我告诉了大家判断某矩阵是否可以对角化的两个步骤，而对于实对称矩阵来说，一定可以对角化，根本就不需要用那两个步骤去判断。

5.17 房间510--实对称矩阵一定可以合同于对角矩阵

标题即结论，很重要。

5.18 小结

5.19 练习题

5.20 结尾语

第6章 第六层--二次型

二次型就是多项式，而且是二次多项式。高中时大家连三次和四次多项式都见过，那么二次多项式又怎么会有难度呢？

6.1 第一车砖--二次型的定义

二次型只不过是每项均由“常数 变量 变量”所组成的多项式（大家上初中时就学过多项式）而已，就这么简单。

6.2 第二车砖--二次型的对应矩阵

每个人都有一个梦想，每个二次型都有对应矩阵，而且可以互推，有点像函数表达式与函数图像的关系！

6.3 第三车砖--利用矩阵乘法来表示二次型

任何一个二次型 都可以表示成 （其中 ，A为二次型的对应矩阵）。

6.4 第四车砖--标准形

标准形是特殊的二次型，那么，它到底如何“标准”呢？

6.5 第五车砖--规范形

规范形是特殊的标准形。也就是说，它比“标准形”更“标准” ！

6.6 第六车砖--化二次型为标准形

基本技能，不多少，看正文吧。

6.7 第七车砖--合同二次型

若两个二次型的对应矩阵是合同矩阵，那么称这两个二次型为合同二次型。

6.8 第八车砖--正定二次型、正定矩阵

正定二次型是特殊的二次型。特殊性体现在：当 不全为零时，二次型 恒大于零。

6.9 房间601--用正交变换法化二次型为标准形

本节要与下一节结合来回看，了解两种方法的特点。

6.10 房间602--用配方法化二次型为标准形

本节要与上一节结合来回看，了解两种方法的特点。

6.11 房间603--两个对称矩阵合同的充分必要条件

在第5章的第七车砖中介绍了两个矩阵合同的定义。可是实际上，我们很难通过定义来判断两个矩阵是否合同。于是我们迫切需要一个充分必要条件！

6.12 房间604--正定二次型、正定矩阵的证明方法

大家不要害怕证明题，其实很多时候，证明题甚至比计算题更简单！

6.12.1 正定矩阵的证明方法

6.12.2 正定二次型的证明方法

6.13 小结

6.14 练习题

6.15 结尾语

本书是一本独特的线性代数参考书，以“盖楼”为目标轻松构筑整个线性代数体系。读者每阅读完一章，就是盖完了大楼的一层，而每层中又分为“砖”和“房间”两部分，先运来“砖”再搭建“房间”，这种安排内容的方式使得全书充满了趣味性。本书的特色除了趣味性之外，还有三个“非常”：语言非常通俗易懂，逻辑非常清晰，例题非常丰富。本书的主要内容包括高等院校线性代数课程的所有内容，针对考研数学的特殊性进行了强化，同时对于一些传统课本中的重点、难点、疑点以及最容易被忽视的一些潜在要点做出了全新诠释，另外，由于作者常年从事考研培训，本书还包括相当多的不传之秘——考研数学的套路。本书作者就职于著名培训机构，本书正是多年培训生涯的总结，毫无保留。 三类读者（哪怕零基础）最适合阅读本书：正在准备研究生入学考试的读者；正在准备学校期末考试的在校大学生；工作后需要补学或温习线性代数的读者（如程序员等）。

考研数学是所有科目中最有可能得高分甚至满分的，是考研高分的关键科目之一。作者曾经就职于新东方考研，在这个国内首个“学员给老师打分”的教育机构中曾取得全满分的教学评价，也曾在多家培训机构走穴讲课，对考研知识体系和出题套路的理解异常深刻。作者现就职于新思路培训，将其“花言巧语”式的风格继续延续并广受好评。从内容上看，《考研数学三部曲之大话线性代数》完全颠覆了数学教科书的框架，像个身边的好兄弟给你嬉皮笑脸地答疑解惑。希望能给考研学子、本科生、尤其是自我感觉数学底子差而放弃考研的同学们带来新思路。
考研为自己，没人逼你，所以你需要足够的自制力。
考研不是及格就可以，分数越高越好，所以你需要有决心拿满分（尤其是数学）。
考研不需要了解一切，只要精通考点和套路。
考研复习没必要按部就班地啃教材，重要的是学得开心。
考研都能满分，当然挂科也就断无此可能了。
考研数学满分没啥了不起，跟着老潘痛快地开始线性代数之旅吧！