分形理论及其应用

前言

第1章 分形几何概述

1．1 初识分形——典型的分形几何图形

1．1．1 康托集

1．1．2 康托尘埃

1．1．3 方块分形

1．1．4 柯赫曲线

1．1．5 柯赫雪花

1．1．6 明可夫斯基香肠

1．1．7 皮亚诺曲线

1．1．8 谢尔宾斯基三角垫

1．1．9 谢尔宾斯基方毯

1．1．10 门格尔海绵

1．2 分形几何的定义

1．2．1 Mandelbrot的定义

1．2．2 Falconer的定义

1．3 分形几何的基本性质

1．3．1 自相似性

1．3．2 无标度性

1．3．3 自仿射性

1．3．4 分形几何与欧氏几何的区别

1．3．5 分形几何的研究对象

1．4 分形之父——Mandelbrot

1．4．1 分形与Mandelbrot

1．4．2 家庭背景与成长历程

1．4．3 获得荣誉

第2章 分形维数

2．1 基本概念

2．1．1 分维概念产生的背景

2．1．2 分形维数的基本概念

2．2 Hausdorff维数

2．2．1 Hausdorff测度及性质

2．2．2 Hausdorff维数及性质

2．3 相似维数

2．3．1 相似维数的定义

2．3．2 典型分形图形的相似维数

2．4 盒计数维数

2．4．1 盒计数维数的定义

2．4．2 典型分形图形的盒维数

2．5 容量维数

2．5．1 容量维数的定义

2．5．2 典型分形图形的容量维数

2．6 关联维数

2．6．1 关联维数的定义和计算方法

2．6．2 Chen’s吸引子的关联维数

2．7 信息维数

2．7．1 信息维数的定义

2．7．2 复杂网络的信息维数

2．8 其他分形维数测定方法

2．8．1 分规法

2．8．2 面积一周长法

2．8．3 频谱法

2．8．4 结构函数法

2．8．5 均方根法

第3章 分形图形的L-系统生成法

3．1 简单的D0L-系统

3．1．1 什么是D0L-系统

3．1．2 D0L-系统的定义与操作

3．1．3 字符串的“海龟”解释

3．1．4 D0L-系统实例

3．2 D0L-系统的合成

3．2．1 边改写

3．2．2 点改写

3．2．3 边改写与点改写之间的关系

3．3 分叉结构

3．3．1 轴树结构

3．3．2 树OL-系统

3．3．3 加括号的树OL-系统

3．3．4 加年龄符号的树OL-系统

3．4 随机L-系统

3．5 参数L-系统

3．6 三维L-系统

第4章 分形图形的IFS生成法

4．1 混沌游戏

4．2 仿射变换

4．2．1 仿射变换的基本概念

4．2．2 4种典型的仿射变换

4．2．3 仿射变换的几何特征

4．2．4 仿射变换与相似变换的比较

4．2．5 Sierpinski三角的仿射变换

4．3 IFS的基本理论

4．3．1 压缩映射原理

4．3．2 拼贴定理

4．3．3 IFS的生成过程

4．4 生成IFS吸引子的算法

4．4．1 确定性迭代算法

4．4．2 随机性迭代算法

4．5 IFS码的确定

4．5．1 变换系数的计算确定法

4．5．2 变换系数的交互式确定法

4．5．3 随机IFS码中概率的确定

4．6 三维IFS

4．7 植物的IFS模拟

第5章 分形图形的复迭代生成法

5．1 复迭代的基本知识

5．1．1 简单的复迭代公式

5．1．2 复解析函数和黎曼球面

5．1．3 复二次多项式迭代

5．1．4 动力平面二分性和Julia集的定义

5．1．5 参数平面二分性和Mandelbrol集的定义

5．1．6 逃逸准则

5．1．7 逃逸时间算法

5．2 经典Julia集的生成

5．2．1 填充Julia集的计算机生成算法

5．2．2 填充Julia集的计算机生成优化

5．2．3 Julia集的计算机生成

5．3 经典的Manclell3rot集的生成及性质

5．3．1 Mandelbrot集的计算机生成

5．3．2 Mandelbrot集的自相似性

5．3．3 Mandelbrot集的稳定周期

5．3．4 Mandelbrot集与Logistic映射之间的关系

5．3．5 Mandelbrot集和Julia集之间的关系

5．4 复Newton迭代法及计算机生成

5．4．1 平面上的Newton迭代法

5．4．2 复Newton迭代法的计算机生成

5．5 广义高阶J集和M集简介

5．5．1广义J集和M集的定义

5．5．2 广义J集和M集的计算机生成

第6章 扩散受限聚集模型

6．1 分形生长模型概述

6．2 二维DLA模型及其计算机模拟

6．2．1 二维DLA模型的基本思想

6．2．2 二维DLA模型的生长特点

6．2．3 二维DLA模型的计算机模拟

6．3 三维DLA模型及其计算机生成

6．4 DLA模型的分形维数计算

6．5 一些分形生长现象

第7章 分形插值函数

7．1 经典插值函数概述

7．2 分形插值曲线

7．2．1 分形插值函数概述

7．2．2 分形插值曲线模拟

7．3 分形插线曲面

7．3．1 分形插值曲面定义

7．3．2 分形插值曲面实例

第8章 随机分形

8．1 简单的随机分形生成

8．1．1 随机Koch曲线的生成

8．1．2 随机Sierpiflski垫片的生成

8．2 分数布朗运动

8．2．1 布朗运动的研究历程

8．2．2 布朗运动的基本知识

8．2．3 分数布朗运动

8．3 中点移位法生成随机分形

8．3．1 一维随机中点移位法

8．3．2 二维随机中点移位法

8．3．3 Diamond--Square细分法

第9章 混沌理论简介

9．1 混沌动力学的基本知识

9．1．1 混沌现象

9．1．2 混沌动力系统

9．1．3 混沌的基本特征

9．1．4 混沌与分形的关系

9．2 种群增长模型

9．2．1 种群增长基本模型

9．2．2 Verhulst种群方程

9．2．3 Logistic映射

9．3 Feigenbaum常数

9．3．1 分岔行为

9．3．2 Feigenbaum常数的求解

9．3．3 Henon映射的分岔行为

9．3．4 King映射的分岔行为

9．4 混沌吸引子

9．4．1 Lorenz吸引子

9．4．2 Rossler吸引子

9．4．3 Chen’s吸引子

9．4．4 Duffing振子

9．5 混沌实验

9．5．1 混沌水轮

9．5．2 湍流实验

9．5．3 布尼莫维奇台球实验

9．5．4 滴水龙头

9．6 混沌之父——洛伦兹

9．6．1 生平简介

9．6．2 蝴蝶效应

9．6．3 成果与荣誉

9．7 费根鲍姆

第10章 分形的应用

10．1 分形行为

10．1．1 自然界和科学实验中的分形行为

10．1．2 人类思维和社会活动中的分形行为

10．2 分形图形的应用

10．2．1 装饰设计

10．2．2 建筑设计

10．2．3 分形天线

10．3 分形维数的应用

10．3．1 轮廓与脉络的分形特性与分形维数

10．3．2 粗糙表面的分形特性与分形维数

10．3．3 孔隙结构的分形特性与分形维数

10．3．4 混沌信号的分形特性与分形维数

10．4 分形图形生成技术的应用

10．4．1 植物模拟

10．4．2 分形图像编码压缩

10．4．3 分形图形艺术在电影中的应用

10．5 分形在公司和管理中的应用

10．5．1 分形公司

10．5．2 分形管理

参考文献

《分形理论及其应用》由朱华、姬翠翠编著，选取的内容浅显易懂、由浅入深，每一章既互相联系，又可以作为独立的内容来学习。读者通过阅读第l章内容，便能初步认识分形并被其吸引，从而对学习分形产生兴趣。第2章的内容很重要，因为分形对象是用维数来表征的。虽然学习该章内容需要读者有一定的数学基础，但是除了2．2节Hausdorff维数和2．6节关联维数的内容之外，其余内容的学习并不困难。因为在编著过程中，为了让读者容易理解分形维数的概念和尽量多掌握几种分形维数的计算方法，作者用心地使用了通俗易懂的例子来引导读者。第3～8章是介绍各种分形图形的生成原理和模拟方法的，因为自然界中存在的许多对象或现象都呈现出分形图形，研究和掌握分形图形的生成技术有助于更好地理解自然和美化我们的生活。第9章关于混沌理论基本知识的介绍非常必要，这是因为分形与混沌密切相关。分形是空间上的混沌，混沌是时间上的分形。混沌系统存在的奇怪吸引子是分形的，系统的分岔图也是分形的，它们都是由系统迭代生成的。因此，了解混沌理论的相关知识有助于学习和理解分形。分形理论的应用已涉及自然科学、工程技术、社会经济和文化艺术等各个领域，第10章介绍的内容仅仅是其中的一部分，旨在为读者应用分形起到示范作用。