第7课时　函数的最值与导数

基础达标(水平一)

　　1.函数f(x)=x3+3x(|x|≤1)(　　).

　　A.有最大值,但无最小值 B.有最大值,也有最小值

　　C.无最大值,也无最小值　 D.无最大值,但有最小值

　　【解析】∵f'(x)=3x2+3≥0,∴f(x)在区间[-1,1]上为单调递增函数,∴当|x|≤1时,f(x)有最大值,也有最小值.

　　【答案】B

2.函数f(x)=x-sin x,x∈[π/2 "," π]的最大值是(　　).

　　A.π-1 B.π/2-1 C.π D.π+1

　　【解析】当x∈[π/2 "," π]时,f'(x)=1-cos x≥0,∴f(x)在[π/2 "," π]上为增函数,∴f(x)的最大值为f(π)=π-sin π=π,故选C.

　　【答案】C

3.函数f(x)=2sin x-x在区间[0"," π/2]上的最大值点和最大值分别是(　　).

　　A.π/3和√3-π/3 B.0和0

　　C.π/2和2-π/2 D.0和2

　　【解析】f'(x)=2cos x-1,令f'(x)=0,得x=π/3,

　　当x∈[0"," π/3]时,f'(x)≥0;当x∈[π/3 "," π/2]时,f'(x)≤0,

　　故x=π/3为最大值点,f(π/3)=√3-π/3为函数的最大值.

　　【答案】A

4.函数f(x)=x3-2x2+1在区间[-1,2]上的最大值和最小值分别是(　　).

　　A.1和-2 B.2和-1

　　C.1和-5/27 D.1和0

　　【解析】f'(x)=3x2-4x,令f'(x)=0,解得x=0或x=4/3.当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:

x -1 (-1,0) 0 (0"," 4/3) 4/3 (4/3 "," 2) 2 f'(x) + 0 - 0 + f(x) -2 ↗ 1 ↘ -5/27 ↗ 1

　　从上表可知,函数f(x)的最大值是1,最小值是-2.

　　【答案】A

5.函数f(x)=x3-3x2+5在区间[-1,1]上的最大值是　.

　　【解析】f'(x)=3x2-6x=3x(x-2).

令f'(x)=0,解得x=0或x=2(舍去).