2019-2020学年北师大版选修1-1 利用导数解决不等式问题 课时作业
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 2019-2020学年北师大版选修1-1 利用导数解决不等式问题 课时作业

  1.设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,当x>0时,xf′(x)-f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是(  )

  A.(-∞,-1)∪(0,1)    B.(-1,0)∪(1,+∞)

  C.(-∞,-1)∪(-1,0) D.(0,1)∪(1,+∞)

  解析:选A.设y=g(x)=(x≠0),则g′(x)=,当x>0时,xf′(x)-f(x)<0,所以 g′(x)<0,所以 g(x)在(0,+∞)上为减函数,且g(1)=f(1)=-f(-1)=0.

  因为 f(x)为奇函数,所以 g(x)为偶函数,

  所以 g(x)的图象的示意图如图所示.

  当x>0,g(x)>0时,f(x)>0,0

  当x<0,g(x)<0时,f(x)>0,x<-1,

  所以 使得f(x)>0成立的x的取值范围是(-∞,-1)∪(0,1),故选A.

  2.已知函数f(x)=x+,g(x)=2x+a,若∀x1∈,∃x2∈[2,3],使得f(x1)≥g(x2),则实数a的取值范围是(  )

  A.a≤1 B.a≥1

  C.a≤2 D.a≥2

  解析:选A.由题意知f(x)min≥g(x)min(x∈[2,3]),因为f(x)min=5,g(x)min=4+a,所以5≥4+a,即a≤1,故选A.

  3.(2019·郑州第二次质量预测)设函数f(x)=ax2-(x+1)ln x,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处切线的斜率为0.

  (1)求a的值;

  (2)求证:当0<x≤2时,f(x)>x.

  解:(1)f′(x)=2ax-ln x-1-,

  由题意,可得f′(1)=2a-2=0,所以a=1.

(2)证明:由(1)得f(x)=x2-(x+1)ln x,