考点一　与线面角有关的探索性问题

【例1】 (2019·湖北重点中学协作体联考)等边△ABC的边长为3，点D，E分别是AB，BC上的点，且满足＝＝(如图(1))，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使二面角A1－DE－B成直二面角，连接A1B，A1C(如图(2))．

(1)求证：A1D⊥平面BCED；

(2)在线段BC上是否存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为60°？若存在，求出PB的长；若不存在，请说明理由．

【答案】解析

【解析】(1)证明　题图(1)中，由已知可得：

AE＝2，AD＝1，A＝60°.

从而DE＝＝.

故得AD2＋DE2＝AE2，∴AD⊥DE，BD⊥DE.

∴题图(2)中，A1D⊥DE，BD⊥DE，

∴∠A1DB为二面角A1－DE－B的平面角，

又二面角A1－DE－B为直二面角，

∴∠A1DB＝90°，即A1D⊥DB，

∵DE∩DB＝D且DE，DB⊂平面BCED，

∴A1D⊥平面BCED.

(2)解　存在．由(1)知ED⊥DB，A1D⊥平面BCED.

以D为坐标原点，以射线DB、DE、DA1分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系D－xyz，如图，

过P作PH∥DE交BD于点H，

设PB＝2a(0≤2a≤3)，则BH＝a，PH＝a，DH＝2－a，

易知A1(0，0，1)，P(2－a，a，0)，E(0，，0)，