第十课时 反证法

一、教学目标：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法──反证法；了解反证法的思考过程与特点。

二、教学重点：了解反证法的思考过程与特点

　　教学难点：正确理解、运用反证法

三、教学方法：探析归纳，讲练结合

四、教学过程

（一）、复习：反证法的思考过程与特点。

反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。

用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。

反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。

归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。

（二）、探究新课

　　反证法是数学中非构造性证明中的极重要的方法。对于处理存在性问题、否定性问题、唯一性问题和至多、至少性问题，反证法具有特殊的优越性。

例1、已知，求证：中，至少有一个数大于25。

证明：假设命题的结论不成立，即均不大于25，那么

，

这与已知条件相矛盾。所以，中，至少有一个数大于25。

例2、求证：1，2，不可能是一个等差数列中的三项。

证明：假设1，2，是公差为d的等差数列的第p，q，r项，则