第6节 向心加速度

{课前感知}

1.矢量：速度的变化量有大小，也有 是 量.

2.做匀速圆周运动的物体，加速度指向 ，这个加速度叫做向心加速度.

3.方向：总指向 ，即向心加速度的方向与速度方向 .大小：an= = = 。

4.物理意义：向心加速度是描述物体 改变 的

物理量.

5. an=，当线速度v的大小不变时，an与r成 ；

6. an=rω2，当角速度ω不变时，an与r成 .

{即讲即练}

【典题例释】 【我行我秀】 【例1】一质点做匀速圆周运动，其半径为2m，周期为3.14s，如图5-6-1所示.求质点从A转过90°到B点的速度变化量．

【思路分析】速度变化量是物体的末速度与初速度的矢量差。

〖答案〗

由v=2πr/T ∴v_A=v_B=(2×3.14×2)/3.14 =4m/s

将初速度v_A平移到B点，如图5-6-2所示，作出速度变化量△v，则△v=√(〖v^2〗_A+〖v^2〗_B )=4√2≈5.66（m/s），其方向为向左与v_B的方向成45°角.

【类题总结】速度的变化量是描述速度改变的多少，它等于物体的末速度和初速度的矢量差，即△v=v_t-v_0，它表示速度变化的大小和变化的方向。

【例2】如图5-6-4所示为质点P、Q做匀速圆周运动时向心加速度随半径变化的图线，表示质点P的图线是双曲线，表示质点Q的图线是过原点的一条直线，由图线可知（ ）

A.质点P线速度大小不变 B.质点P的角速度大小不变

C.质点Q的角速度随半径变化 D.质点Q的线速度大小不变

【思路分析】根据图象提供的曲线的性质建立起质点做匀速圆周运动的向心加速度a随半径r变化的函数关系，再根据这个函数关系，结合向心加速度的计算公式作出判断。由a=和a=rω2 知，当v一定时α∝；当ω一定时α∝r

【答案】A

【类题总结】在利用图象解决物理问题时，要注意充分挖掘图象中所携带的信息，如：一个量随另一个量如何变化；变化的确切数量关系；斜率多大，其物理意义是什么?截距、面积各有什么意义等。同时还要注意把物理图象和具体的物理情景结合起来考虑应该选取哪一个规律或公式解决问题。

【例3】关于北京和广州随地球自转的向心加速度，下列说法中正确的是( )

A.它们的方向都沿半径指向地心

B.它们的方向都在平行赤道的平面内指向地轴

C.北京的向心加速度比广州的向心加速度大

　　D.北京的向心加速度比广州的向心加速度小

【思路分析】如图5-6-6所示，地球表面各点的向心加速度方向都在平行赤道的平面内指向地轴．在地面上纬度为φ的P点，做圆周运动的轨道半径r=R_0 cosφ，其向心加速度为〖 a 〗_n=R_0 ω^2 cosφ.由于北京的地理纬度比广州的地理纬度高，北京随地球自转的半径比广州随地球自转的半径小，两地随地球自转的角速度相同，因此北京随地球自转的向心加速度比广州的小．

【答案】BD

【类题总结】因为地球自转时，地面上的一切物体都在垂直于地轴的平面内绕地轴做匀速圆周运动，它们的转动中心(圆心)都在地轴上，而不是地球球心，向心加速度也就不指向地心(赤道上点除外)而是指向地轴．

【例4】如图5-6-7所示，定滑轮的半径r＝2 cm，绕在滑轮上的细线悬挂着一个重物，由静止开始释放，测得重物以加速度a＝2m/s2做匀加速运动，在重物由静止下落距离为1 m的瞬间，滑轮边缘上的点的角速度ω= rad／s，向心加速度a= m/s2.

【思路分析】重物下落1m时，瞬时速度为v=√2as=√(2×2×1) m/s=2m/s

显然，滑轮边缘上每一点的线速度也都是2m／s，故滑轮转动的角速度，即滑轮边缘上每一点的转动角速度为ω=v/r=2/0.2 rad/s=100rad/s

向心加速度为a=ω^2 r=100^2×0.02m/s^2=200m/s^2

【答案】100 200

【类题总结】本题讨论的是变速运动问题，重物落下的过程中滑轮运动的角速度、轮上各点的线速度都在不断增加，但在任何时刻角速度与线速度的关系（v=ωr）、向心加速度与角速度、线速度的关系(a=ω^2 r=v^2/r)仍然成立. 1（1）.一个做直线运动的物体,初速度为v_1,方向向东,经过一段时间后速度变为v_2,方向向西,其速度变化量为△v, v_1 、v_2 、△v这三个矢量的关系可以用一个矢量图表示，下面四个图（图5-6-3）中正确的是（ ）

1（2）.一物体做平抛运动，其初速度为20m/s，求经2s过后的速度变化量.（g=10m/s^2)

2（1）.关于质点做匀速圆周运动的下列说法中正确的是（ ）

A.由a=v^2/r 可知，a与r成反比

B.由a=ω^2 r 可知，a与r成正比

C.当v一定时，a与r成反比

D.由ω=2πn可知，角速度ω与转速n成正比

2（2）.如图5-6-5所示，a、b 是地球表面北半球不同纬度上的两个点，如果把地球看作是一个球体，a、b 两点随地球自转做匀速圆周运动，这两个点具有大小相同的( )

　　A. 线速度

　　B. 角速度

　　C. 加速度

　　D. 轨道半径

3（1）. 关于向心加速度，下面说法正确的是（ ）

A.向心加速度是描述线速度变化的物理量

B.向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小

C.向心加速度大小恒定，方向时刻改变

D.向心加速度的大小也可用a=(v_t-v_0)/t来计算

3（2）.关于向心加速度的说法正确的是( )

A.向心加速度越大，物体速率变化越快

B.向心加速度的大小与轨道半径成反比

C.向心加速度的方向始终与速度方向垂直

D.在匀速圆周运动中向心加速度是恒量

4（1）如图5-6-8所示，O、O1为两个皮带轮，O轮的半径为r，O1的半径为R，且R＞r，M点为O轮边缘上的一点，N点为O1轮上的任意一点，当皮带轮转动时，（设转动过程中不打滑）则（ ）

　A.M点的向心加速度一定大于N点的向心加速度

　B.M点的向心加速度一定等于N点的向心加速度

　C.M点的向心加速度可能小于N点的向心加速度

　D.M点的向心加速度可能等于N点的向心加速度

4（2）.如图5-6-9所示，一个球绕中心轴线OO'的角速度做匀速圆周转动，则（ ）

　A.a、b 两点线速度相同

　B. a、b 两点角速度相同

　C.若θ=30°，则a、b两点的速度之比v_a:v_b=√3:2

　D.若θ=30°，则a、b两点的向心加速度之比v_a:v_b=√3:2