2019-2020学年北师大版选修2-2 定积分的简单应用 学案

题型一　利用定积分求平面图形的面积问题

例1　求由抛物线y2＝，y2＝x－1所围成图形的面积.

解　在同一个平面直角坐标系上画出两个抛物线的大致图形，如图.

方法一　以x为积分变量.

由得两个抛物线的两个交点坐标分别为A，B.

设点P(1,0)，则所求面积S＝2

＝2＝.

方法二　以y为积分变量.

由可得两个抛物线的两个交点坐标分别为A，B.

设点P(1,0)，则所求面积S＝2 (y2＋1－5y2)dy

＝2＝.

反思与感悟　若以x为积分变量，则被积函数的原函数不易确定，而且计算也比较麻烦；若以y为积分变量，则可以避免这种情况.选取积分变量有时对解题很关键.

跟踪训练1　在曲线y＝x2(x≥0)上的某一点A处作一切线，使之与曲线以及x轴所围成图形的面积为.试求：切点A的坐标和过切点A的切线方程.

解　如图所示，设切点A(x0，y0)，由y′＝2x得过A点的切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)，