2019-2020学年北师大版必修五 不等式 学案
2019-2020学年北师大版必修五   不等式     学案第1页



版块一.不等式的性质

1.用不等号表示不等关系的式子叫做不等式.

2.对于任意两个实数和,在三种关系中,有且仅有一种关系成立.

3.两个实数的大小比较:

对于任意两个实数,对应数轴上的两点,右边的点对应的实数比左边点对应的实数大.

作差比较法:;;.

        其中符号表示它的左边与右边能够互相推出.

4.不等式的性质:

性质1:(对称性)如果,那么;如果,那么.

性质2:(传递性)如果,且,则.

性质3:如果,则.

推论1:(移项法则)不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后,从不等式的一边移到另一边.

推论2:如果,则.

我们把和(或和)这类不等号方向相同的不等式,叫做同向不等式.

推论2说明:同向不等式的两边可以分别相加,所得的不等式与原不等式同向.

推广:几个同向不等式的两边分别相加,所得到的不等式与原不等式同向.

性质4:如果,,则;如果,,则.

实数大小的作商比较法:当时,若,且,则;若,且,则.

推论1:如果,则.

推广:几个两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘,所得到的不等式与原不等式同向.

推论2:如果,则.

推论3:如果,则

<教师备案>1. 对于任意两个实数,有;;,这几个等价符号的左边反映的是实数的运算性质,右边反映的是实数的大小顺序.由此知:比较两个实数的大小,可以归结为判断它们的差的符号.这是不等式这一章的理论基础,是不等式性质的证明,证明不等式和解不等式的主要依据.

在学习了不等式的性质后,比较两个实数的大小还可以用作商法,与比较,但这时要注意分母的正负情况.

2.比较两个代数式的大小关系,实际上是比较它们的值的大小,又归结为判断它们的差的符号,要引导学生意识到比较法是不等式证明的基本方法.它有两个基本步骤:先作差,再变形判断正负号,难点是后者.这里的代数式的字母是有范围的,省略不写时就表示取值范围是实数集,它的主要变形方法有两种,一是因式分解法,二是配方法,变形时要尽量避免讨论,让依据