4.1　曲线与方程(一)

[学习目标]　1.了解曲线和方程的概念.2.理解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系，领会"曲线的方程"与"方程的曲线"的含义.

知识点　曲线的方程、方程的曲线

一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：

(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；

(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上.

那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线.

思考　(1)如果曲线与方程仅满足"以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点"，会出现什么情况？举例说明.

(2)如果曲线C的方程是f(x，y)＝0，那么点P(x0，y0)在曲线C上的充要条件是什么？

答案　(1)如果曲线与方程仅满足"以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点"，有可能扩大曲线的边界.如方程y＝表示的曲线是半圆，而非整圆.

(2)若点P在曲线C上，则f(x0，y0)＝0；若f(x0，y0)＝0，则点P在曲线C上，所以点P(x0，y0)在曲线C上的充要条件是f(x0，y0)＝0.

题型一　曲线与方程的概念

例1　(1)已知坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上，那么(　　)

A.曲线C上的点的坐标都适合方程f(x，y)＝0

B.凡坐标不适合f(x，y)＝0的点都不在曲线C上

C.不在曲线C上的点的坐标必不适合f(x，y)＝0

D.不在曲线C上的点的坐标有些适合f(x，y)＝0，有些不适合f(x，y)＝0