2018-2019学年北师大版选修2-1 2.3 向量的坐标表示和空间向量基本定理 教案
2018-2019学年北师大版选修2-1  2.3 向量的坐标表示和空间向量基本定理  教案第1页

2.3 向量的坐标表示和空间向量基本定理

1.了解空间向量基本定理及其意义,掌握空间向量线性运算及数量积的坐标表示.(重点)

2.掌握空间向量的标准正交分解及其坐标表示,会求向量的坐标.(重点)

3.理解空间中的任何一个向量都可以用三个不共面的向量来表示,能够在具体问题中适当地选取基底.能够利用空间向量的坐标运算求空间向量的长度与夹角。(难点)

知识点一 空间向量的标准正交分解与坐标表示

在给定的空间直角坐标系中,i,j,k分别为x轴,y轴, 轴正方向上的单位向量,对于空间任意向量a,存在唯一一组三元有序实数(x,y, ),使得a=xi+yj+ k.我们把a=xi+yj+ k叫作a的标准正交分解,把i,j,k叫作标准正交基.(x,y, )叫作空间向量a的坐标,记作a=(x,y, ),a=(x,y, )叫作向量a的坐标表示.在空间直角坐标系中,点P的坐标为(x,y, ),向量\s\up12(→(→)的坐标也是(x,y, ).

知识点二 投影

(1)一般地,若b0为b的单位向量,称a·b0=|a|cos〈a,b〉为向量a在向量b上的投影.如图所示,向量a在向量b上的投影为OM=|a|cos〈a,b〉.

(2)向量的坐标等于它在坐标轴正方向上的投影.

知识点三 空间向量基本定理

(1)如果向量e1、e2、e3是空间三个不共面的向量,a是空间任一向量,那么存在唯一一组实数λ1、λ2、λ3,使得a=λ1e1+λ2e2+λ3e3.

(2)空间中不共面的三个向量e1、e2、e3叫作这个空间的一个基底,a=λ1e1+λ2e2+λ3e3表示向量a关于基底e1、e2、e3的分解,e1、e2、e3都叫作基向量.

(3)当向量e1、e2、e3两两垂直时,就得到这个向量的一个正交分解,当e1=i,e2=j,e3=k时,a=λ1e1+λ2e2+λ3e3叫作a的标准正交分解.

知识点四 空间向量运算的坐标表示

1.空间向量运算的坐标表示

设a=(x1,y1, 1),b=(x2,y2, 2),则:

(1)a+b=(x1+x2,y1+y2, 1+ 2),即,空间两个向量和的坐标等于它们对应坐标的和.

(2)a-b=(x1-x2,y1-y2, 1- 2),即,空间两个向量差的坐标等于它们对应坐标的差.

(3)λa=(λx1,λy1,λ 1)(λ∈R),即,实数与空间向量数乘的坐标等于实数与向量对应坐标的乘积.