考点一　抛物线的定义及其标准方程

1.(2018课标全国Ⅰ,10,5分)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D,E两点.已知|AB|=4,|DE|=2,则C的焦点到准线的距离为(　　)

A.2 B.4

C.6 D.8

答案　B

2.(2018四川,8,5分)设O为坐标原点,P是以F为焦点的抛物线y2=2px(p>0)上任意一点,M是线段PF上的点,且|PM|=2|MF|,则直线OM的斜率的最大值为(　　)

A. B.

C. D.1

答案　C

3.(2018课标全国Ⅱ,16,5分)已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点,则|FN|=　　　　.

答案　6

4.(2018浙江,9,4分)若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10,则M到y轴的距离是　　　　.

答案　9

教师用书专用(5-8)

5.(2018陕西,14,5分)若抛物线y2=2px(p>0)的准线经过双曲线x2-y2=1的一个焦点,则p=　　　　.

答案　2

6.(2018湖南,15,5分)如图,正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a,b(a0)经过C,F两点,则=　　　　.

答案　1+

7.(2018广东,20,14分)已知抛物线C的顶点为原点,其焦点F(0,c)(c>0)到直线l:x-y-2=0的距离为.设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B为切点.

(1)求抛物线C的方程;

(2)当点P(x0,y0)为直线l上的定点时,求直线AB的方程;

(3)当点P在直线l上移动时,求|AF|·|BF|的最小值.

解析　(1)依题意,设抛物线C的方程为x2=4cy,由题意易知=,且结合c>0,解得c=1.所以抛物线C的方程为x2=4y.

(2)抛物线C的方程为x2=4y,即y=x2,求导得y'=x.

设A(x1,y1),B(x2,y2),则切线PA,PB的斜率分别为x1,x2,所以切线PA的方程为y-y1=(x-x1),即y=x-+y1,即x1x-2y-2y1=0.

同理可得切线PB的方程为x2x-2y-2y2=0.

因为切线PA,PB均过点P(x0,y0),所以x1x0-2y0-2y1=0,x2x0-2y0-2y2=0,所以(x1,y1),(x2,y2)为方程x0x-2y0-2y=0的两组解.

所以直线AB的方程为x0x-2y-2y0=0.

(3)由抛物线定义可知|AF|=y1+1,|BF|=y2+1,

所以|AF|·|BF|=(y1+1)(y2+1)=y1y2+(y1+y2)+1,

联立方程消去x整理得y2+(2y0-)y+=0.

由一元二次方程根与系数的关系可得y1+y2=-2y0,y1y2=,所以|AF|·|BF|=y1y2+(y1+y2)+1=+-2y0+1.

又点P(x0,y0)在直线l上,所以x0=y0+2,

所以+-2y0+1=2+2y0+5=2+.

所以当y0=-时,|AF|·|BF|取得最小值,且最小值为.

8.(2018湖南,21,13分)过抛物线E:x2=2py(p>0)的焦点F作斜率分别为k1,k2的两条不同直线l1,l2,且k1+k2=2,l1与E相交于点A,B,l2与E相交于点C,D,以AB,CD为直径的圆M,圆N(M,N为圆心)的公共弦所在直线记为l.

(1)若k1>0,k2>0,证明:·<2p2;