2019-2020学年北师大版选修2-1 空间向量及其运算 学案
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2019-2020学年北师大版选修2-1 空间向量及其运算 学案

典例精析

题型一 共线和共面向量

【例1】 设A、B、C及A1、B1、C1分别是异面直线l1、l2上的三点,而M、N、P、Q分别是线段AA1、BA1、BB1、CC1的中点,求证:M、N、P、Q四点共面.

【证明】因为=,=,所以=2,=2,

又=(+),=λ=2λ,=ω=2ω,

所以=(2λ+2ω)=λ+ω,

所以、、共面,即M、N、P、Q四点共面.

【点拨】可以利用共面向量定理或其推论完成证明.用共线向量定理证明线线平行,从而证明面面平行,更简捷,使问题简单化.

【变式训练1】如图所示,长方体ABCD-A1B1C1D1中,M为DD1的中点,N∈AC,且AN∶NC=2,求证:A、B、N、M四点共面.

【证明】设=a,=b,=c,则=b-a.

因为M是DD1的中点,所以=c-a.

因为AN∶NC=2,所以==(b+c),所以=-=(b+c)-a=(b-a)+(c-a)=+,

所以A、B、M、N四点共面.

题型二 利用向量计算长度和证明垂直

【例2】已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1所有棱长均为1,∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60°.

(1)求AC1的长;

(2)求证:AC1⊥平面A1BD.

【解析】(1)设=a,=b,=c,

则a·b=b·c=c·a=1×1×cos 60°=,a2=b2=c2=1.而=a+b+c,

所以||2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2a·c

=1+1+1+2×+2×+2×=6,即||=.

(2)证明:因为=a-c,