复数的确立

　　有了实数概念，人们就解决了过去仅有有理数概念时所不能解决的不可公度和开方开不尽等矛盾．但后来随着生产实践的深入发展，又产生了新的矛盾，如负数开平方是什么？众所周知，在实数范围内，任何一个正数或负数的平方都得正数，或者说，没有一个数的平方会等于负数．因而，负数开平方（如）已超出实数范围．与实数相比较，当时人们把这样的数称之为"虚数"，以示"不存在"、"虚无"的意思．后来，人们经过长期实践逐步认识到，"虚数"并不虚无，还把虚数与实数的复合形式（为实数）称为复数．于是，在数的概念中，又引进了复数的概念，数的系统得到了再一次的扩充．

　　"虚数"概念的确立，是一个漫长而曲折的过程，大体可分为以下几个阶段：

　　第一，问题提出阶段．早在公元前，在解决生产实际问题时，人们就遇到了负数开平方问题，例如，解方程时，又遇到了负数开平方．例如，公元七世纪，我国唐代的《辑古算经》中，就有三次方程问题及其解法．但一直到十六世纪以前，无论是我国还是外国，虽然研究并解决了许多三次方程问题，但对负数开平方问题仍采取回避的态度．就是说，问题是提出来了，但没有解决．

　　第二、理论探讨阶段．到了十六世纪，人们已获得了三次方程的一般求解公式：（为实数）有　　　①

　　后来，人们发现，某些三次方程有实根，但用公式①求不出实根，于是出现了矛盾．例如，，显然有实根．但应用公式①，

　　则得

　　．②

　　如何解决这一矛盾？当时，人们从理论上进行了探讨，充分发挥了辩证思维的能动作用．例如，1572年，意大利数学家邦别利（Ｒ．Ｂombelli，1526-1572），从出发，证得　　　③

将③代入②，得．