3.3 导数在研究函数中的应用

3.3.1 单调性

课前导引

问题导入

(2006年成都检测Ⅰ)已知向量a、b、c、d及实数x、y,且｜a｜=｜b｜=1,c=a+(x2-3)b,d=-ya+xb,若a⊥b,c⊥d,且｜c｜≤.

(1)求y关于x的函数关系y=f(x)及定义域；

（2）求函数f(x)的单调区间.

思路分析：（1）∵a⊥b,∴a·b=0.c=a+(x2-3)b,

∴｜c｜2=c·c=｜a｜2+2(x2-3)a·b+(x2-3)2｜b｜2

=x4-6x2+10.

∵｜c｜2≤10,∴x4-6x2+10≤10.

∴≤x≤.又∵c⊥d,∴c·d=0.

∴c·d=-y｜a｜2+(-x2y+x+3y)a·b+x(x2-3)｜b｜2=0,

∴-y+x3-3x=0,∴y=f(x)=x3-3x,其定义域为［，］.

对（2）问，若作出函数y=x3-3x的图象来确定其单调区间，既复杂又易错.本节就学习一种求函数单调性的简便方法.

知识预览

1.一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：在某个区间（a,b）内，如果f′(x)＞0，那么函数f(x)在这个区间内____________；如果____________，那么函数f(x)在这个区间内____________.

答案：单调递增 f′(x)＜0 单调递减

2.若函数f(x)在其定义域内可导，则____________称为函数f(x）的临界点.

答案：使f′(x0)=0的x0

3.一般地，如果一个函数在某一范围内的____________，说明函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较"陡峭"；反之，函数的图象就较"平缓".

答案：导数值越大