抛物线 教案

　　直线与圆锥曲线问题的答题模板

　　【典例】　(13分)已知抛物线C1：x2＝4y的焦点F也是椭圆C2：＋＝1(a>b>0)的一个焦点，C1与C2的公共弦的长为2.过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点，且\s\up6(→(→)与\s\up6(→(→)同向．

　　(1)求C2的方程；

　　(2)若|AC|＝|BD|，求直线l的斜率．

　　[解题思路]　(1)由抛物线的焦点坐标可求c，又由两曲线的公共弦长为2得出a，b的关系式，从而求得椭圆方程；(2)利用方程的思想，得出各交点坐标之间的关系，构造关于斜率k的方程．

　　[规范解答]　(1)由C1：x2＝4y知其焦点F的坐标为(0,1)，因为F也是椭圆C2的一个焦点，所以a2－b2＝1，①(2分)

　　又C1与C2的公共弦的长为2，C1与C2都关于y轴对称，由C1的方程为x2＝4y，(4分)

　　由此易知C1与C2的公共点的坐标为，

　　所以＋＝1，②(5分)

　　联立①②得a2＝9，b2＝8，

　　故C2的方程为＋＝1.(6分)

　　(2)如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)．

　　因为\s\up6(→(→)与\s\up6(→(→)同向，且|AC|＝|BD|，所以\s\up6(→(→)＝\s\up6(→(→)，从而x3－x1＝x4－x2，即x1－x2＝x3－x4，于是(x1＋x2)2－4x1x2＝(x3＋x4)2－4x3x4.③(8分)

设直线l的斜率为k，则l的方程为y＝kx＋1.(9分)