2019-2020学年北师大版选修2-3 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 教案
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2019-2020学年北师大版选修2-3 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 教案

典例精析

题型一 分类加法计数原理的应用

【例1】 在1到20这20个整数中,任取两个数相加,使其和大于20,共有  种取法.

【解析】当一个加数是1时,另一个加数只能是20,有1种取法;

当一个加数是2时,另一个加数可以是19,20,有2种取法;

当一个加数是3时,另一个加数可以是18,19,20,有3种取法;

......

当一个加数是10时,另一个加数可以是11,12,...,19,20,有10种取法;

当一个加数是11时,另一个加数可以是12,13,...,19,20,有9种取法;

......

当一个加数是19时,另一个加数只能是20,有1种取法.

由分类加法计数原理可得共有1+2+3+...+10+9+8+...+1=100种取法.

【点拨】采用列举法分类,先确定一个加数,再利用"和大于20"确定另一个加数.

【变式训练1】(2013济南市模拟)从集合{1,2,3,...,10}中任意选出三个不同的数,使这三个数成等比数列,这样的等比数列的个数为(  )

A.3 B.4 C.6 D.8

【解析】当公比为2时,等比数列可为1,2,4或2,4,8;当公比为3时,等比数列可为1,3,9;当公比为时,等比数列可为4,6,9.同理,公比为、、时,也有4个.故选D.

题型二 分步乘法计数原理的应用

【例2】 从6人中选4人分别到张家界、韶山、衡山、桃花源四个旅游景点游览,要求每个旅游景点只有一人游览,每人只游览一个旅游景点,且6个人中甲、乙两人不去张家界游览,则不同的选择方案共有   种.

【解析】能去张家界的有4人,依此能去韶山、衡山、桃花源的有5人、4人、3人.则由分步乘法计数原理得不同的选择方案有4×5×4×3=240种.

【点拨】根据题意正确分步,要求各步之间必须连续,只有按照这几步逐步地去做,才能完成这件事,各步之间既不能重复也不能遗漏.

【变式训练2】(2010湘潭市调研)要安排一份5天的值班表,每天有一人值班,现有5人,每人可以值多天班或不值班,但相邻两天不准由同一人值班,问此值班表共有  种不同的排法.

【解析】依题意,值班表须一天一天分步完成.第一天有5人可选有5种方法,第二天不能用第一天的人有4种方法,同理第三天、第四天、第五天也都有4种方法,由分步乘法计数原理共有5×4×4×4×4=1 280种方法.

题型三 分类和分步计数原理综合应用

【例3】(2012长郡中学)如图,用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用),要求每个区域涂一种颜色,相邻的区域不能涂相同的颜色,则不同的涂色种数有    .

【解析】方法一:由题意知,有且仅有两个区域涂相同的颜色,分为4类:1与5同;2与5同;3与5同;1与3同.对于每一类有A种涂法,共有4A=96种方法.