一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成，问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？

【解析】设容器高为x cm，容器的容积为V(x) cm3，则V(x)＝x(90－2x)(48－2x)

＝4x3－276x2＋4 320x(0＜x＜24)．

求V(x)的导数，得

V′(x)＝12x2－552x＋4 320

＝12(x2－46x＋360)

＝12(x－10)(x－36)．

令V′(x)＝0，得x1＝10，x2＝36(舍去)．

当0＜x＜10时，V′(x)＞0，那么V(x)为增函数；

当10＜x＜24时，V′(x)＜0，那么V(x)为减函数．

因此，在定义域(0,24)内，函数V(x)只有当x＝10时取得最大值，其最大值为V(10)＝10×(90－20)×(48－20)＝19 600 (cm3)．

答：当容器的高为10cm时，容器的容积最大，最大容积为19 600 cm3.

【评析】在实际问题中如果可以判定可导函数在定义域开区间内存在最大(小)值，而且f(x)在这个定义域开区间内又只有唯一的极值点，那么可以立即判定，这个极值点的函数值就是最大(小)值，这一点在解决实际问题中很有用．

【例2】有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50km，两厂在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？

【解析】根据题意可知，只有点C在线段AD上某一适当位置，才能使总运费最省，设C点距D点x km，则

∵BD＝40，AC＝50－x，∴BC＝＝，又设总的水管费用为y元，依题意有

y＝3a(50－x)＋5a(0＜x＜50)．

y′＝－3a＋，令y′＝0，解得x＝30.

当00.