数值计算方法

第1章 数值计算方法概论

1.1 数值计算方法的基本内容与特点

1.2 误差的基本理论

1.2.1 误差来源

1.2.2 绝对误差与相对误差

1.3 数值算法设计的原则

本章小结

实验1 算法设计原则与数值稳定性验证

习题1

第2章 非线性方程的数值解法

2.1 对分区间法

2.2 简单迭代法

2.2.1 简单迭代法

2.2.2 简单迭代法的收敛性定理

2.2.3 局部收敛性

2.2.4 收敛速度与收敛的阶

2.3 Aitken-Steffensen加速法

2.4 Newton迭代法

2.4.1 Newton迭代法

2.4.2 Newton下山法

2.5 正割法

本章小结

实验2 非线性方程的迭代解法

习题2

第3章 解线性方程组的直接法

3.1 Gauss列主元消去法

3.1.1 Gauss消去法

3.1.2 Gauss列主元消去法

3.2 Lu分解法

3.2.1 Doolittle分解法

3.2.2 Crout分解法

3.2.3 Cholesky分解法

3.3 三对角方程组的追赶法

本章小结

实验3 解线性方程组的直接法

习题3

第4章 线性方程组的迭代法

4.1 向量范数与矩阵范数

4.1.1 向量的范数

4.1.2 矩阵的范数

4.1.3 矩阵谱半径

4.2 Jacobi迭代法

4.3 Gauss-Seidel迭代法

4.4 迭代法的收敛性

4.5 逐次超松弛迭代法

本章小结

实验4 解线性方程组的迭代法

习题4

第5章 插值法与最小二乘拟合法

5.1 代数插值法及其唯一性

5.1.1 插值多项式及其唯一性

5.1.2 插值余项

5.1.3 代数插值的几何意义

5.2 Lagrange插值法

5.3 Newton插值法

5.3.1 差商及其性质

5.3.2 Newton插值多项式

5.4 Hermite插值法

5.4.1 Hermite插值多项式

5.4.2 三次Hermite插值

5.4.3 Matlab=p的插值函数

5.5 三次样条插值法

5.5.1 背景

5.5.2 三次样条插值的概念

5.5.3 三弯矩法

5.5.4 Matlab中的三次样条函数

5.6 最小二乘拟合法

5.6.1 基本概念

5.6.2 直线拟合的最小二乘法

5.6.3 多项式拟合的最小二乘法

本章小结

实验5 Lagrange插值法与最小二乘拟合法

习题5

第6章 数值积分与数值微分

6.1 插值型求积公式

6.1.1 插值型求积公式的构造

6.1.2 插值型求积公式的余项

6.1.3 求积公式的代数精度

6.2 三个常用的求积公式及其误差

6.2.1 梯形公式

6.2.2 Simpson公式

6.2.3 Cotes公式

6.3 复化求积公式

6.3.1 复化梯形公式

6.3.2 复化Simpson公式

6.3.3 复化Cotes公式

6.3.4 算法实现

6.4 Romberg求积公式

6.4.1 变步长求积公式

6.4.2 Romberg求积公式

6.4.3 算法实现

6.5 Gauss求积公式

6.5.1 Gauss公式的定义

6.5.2 Gauss点的性质

6.5.3 Gauss公式的构造

6.6 数值微分法

本章小结

实验6 复化求积法与变步长求积法

习题6

第7章 常微分方程的数值解法

7.1 Euler方法

7.1.1 Euler方法

7.1.2 改进的Euler公式（预测-校正法）

7.1.3 局部截断误差与方法的阶

7.2 高阶Taylor方法

7.3 Runge-Kutta法

7.3.1 2阶R-K公式

7.3.2 3阶／4阶R-K公式

7.3.3 Matlab中用R-K方法解常微分方程的函数

本章小结

实验7 常微分方程的Euler方法与R-K方法

习题7

第8章 矩阵的特征值与特征向量的计算

8.1 乘幂法与反幂法

8.1.1 计算模最大特征值的乘幂法

8.1.2 算法实现

8.1.3 反幂法

8.2 QR方法

8.2.1 镜像矩阵

8.2.2 矩阵的QR分解

8.2.3 QR方法

本章小结

实验8 求矩阵特征值的乘幂法与反幂法

习题8

附录A 数值实验报告的基本格式

附录B Matlab简介

B.1 基本运算

B.2 绘图功能

B.3 编程入门

B.4 数据的输入与输出

附录C C／C++的数据输入输出与文件操作

C.1 数据的格式化输入与输出

C.2 输入与输出流

C.3 通过文件指针操作

C.4 通过文件流操作

参考文献

《数值计算方法（第2版）/“十二五”普通高等教育规划教材》阐述数值计算的基本理论和常用方法，包括：误差分析与算法设计、非线性方程的数值解法、线性方程组的直接法与迭代法、插值法与最小二乘拟合法、数值积分与数值微分、常微分方程的数值解法、矩阵特征值与特征向量的计算等，并在附录中介绍了数值实验报告的基本格式和Matlab软件的基本使用方法。