2018-2019学年高二数学苏教版选修2-2讲义:第1章 章末小结 知识整合与阶段检测
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  [对应学生用书P31]

  一、导数的概念

  1.导数

  函数y=f(x)在区间(a,b)上有定义,x0∈(a,b),当Δx无限趋近于0时,比值=无限趋近于一个常数A,则称f(x)在点x=x0处可导,称常数A为函数f(x)在点x=x0处的导数,记作f′(x0).

  2.导函数

  若f(x)对于区间(a,b)内任一点都可导,则f′(x)在各点的导数中随着自变量x的变化而变化,因而也是自变量x的函数,该函数称为f(x)的导函数.记作f′(x).

  二、导数的几何意义

  1.f′(x0)是函数y=f(x)在x0处切线的斜率,这是导数的几何意义.

  2.求切线方程:

  常见的类型有两种:

  一是函数y=f(x)"在点x=x0处的切线方程",这种类型中(x0,f(x0))是曲线上的点,其切线方程为

  y-f(x0)=f′(x0)(x-x0).

  二是函数y=f(x)"过某点的切线方程",这种类型中,该点不一定为切点,可先设切点为Q(x1,y1),则切线方程为y-y1=f′(x1)(x-x1),再由切线过点P(x0,y0)得y0-y1=f′(x1)(x0-x1),又y1=f(x1),由上面两个方程可解得x1,y1的值,即求出了过点P(x0,y0)的切线方程.

  三、导数的运算

  1.基本初等函数的导数

  (1)f(x)=C,则f′(x)=0(C为常数);

  (2)f(x)=xα,则f′(x)=α·xα-1(α为常数);

  (3)f(x)=ax(a>0且a≠1),则f′(x)=axln a;

  (4)f(x)=logax(a>0,且a≠1),则f′(x)=;

(5)f(x)=sin x,则f′(x)=cos x;