2019-2020学年人教A版选修2-2 1.6 微积分基本定理 学案
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学习目标 1.直观了解并掌握微积分基本定理的含义.2.会利用微积分基本定理求函数的积分.

知识点一 微积分基本定理(牛顿-莱布尼茨公式)

思考1 已知函数f(x)=2x+1,F(x)=x2+x,则ʃ(2x+1)dx与F(1)-F(0)有什么关系?

答 由定积分的几何意义知,ʃ(2x+1)dx=×(1+3)×1=2,F(1)-F(0)=2,故ʃ(2x+1)dx=F(1)-F(0).

思考2 对一个连续函数f(x)来说,是否存在唯一的F(x),使得F′(x)=f(x)?

答 不唯一,根据导数的性质,若F′(x)=f(x),则对任意实数c,都有[F(x)+c]′=F′(x)+c′=f(x).

1.微积分基本定理

(1)条件:f(x)是区间[a,b]上的连续函数,并且F′(x)=f(x);

(2)结论:ʃf(x)dx=F(b)-F(a);

(3)符号表示:ʃf(x)dx=F(x)|=F(b)-F(a).

2.常见的原函数与被积函数关系

(1)ʃCdx=Cx|(C为常数).

(2)ʃxndx=(n≠-1).

(3)ʃsin xdx=-cos x|.

(4)ʃcos xdx=sin x|.

(5)ʃdx=ln x|(b>a>0).

(6)ʃexdx=ex|.