2019-2020学年人教A版选修2-2 2.2.2 反证法 学案
2019-2020学年人教A版选修2-2  2.2.2  反证法 学案第3页

当k2=3时,l与双曲线仅有一个交点,不合题意.

由②、③得a(x1+x2)=k(x1+x2)+2⑤

由④知x1+x2=,代入⑤整理得:

ak=3,这与①矛盾.

所以假设不成立,故不存在实数k,使得A、B关于直线y=ax对称.

规律方法 证明"唯一性"问题的方法:"唯一性"包含"有一个"和"除了这个没有另外一个"两层意思.证明后一层意思时,采用直接证法往往会相当困难,因此一般情况下都采用间接证法,即用反证法(假设"有另外一个",推出矛盾)或同一法(假设"有另外一个",推出它就是"已知那一个")证明,而用反证法有时比用同一法更方便.

跟踪演练2 求证方程2x=3有且只有一个根.

证明 ∵2x=3,∴x=log23,这说明方程2x=3有根.下面用反证法证明方程2x=3的根是唯一的:

假设方程2x=3至少有两个根b1,b2(b1≠b2),

则2b1=3,2b2=3,

两式相除得2b1-b2=1.

若b1-b2>0,则2b1-b2>1,这与2b1-b2=1相矛盾.

若b1-b2<0,则2b1-b2<1,这也与2b1-b2=1相矛盾.

∴b1-b2=0,则b1=b2.

∴假设不成立,从而原命题得证.

要点三 用反证法证明否定性命题

例3 等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=1+,S3=9+3.

(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn;

(2)设bn=(n∈N*),求证:数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列.

(1)解 设公差为d,由已知得

∴d=2,故an=2n-1+,Sn=n(n+).