2019-2020学年人教A版选修2-2 1.3.3 函数的最大(小)值与导数 学案
2019-2020学年人教A版选修2-2 1.3.3  函数的最大(小)值与导数 学案第2页

(2)极值是在区间[a,b]上的某一个数值x0附近相比较最大(小)的值.

要点一 求函数在闭区间上的最值

例1 求下列各函数的最值:

(1)f(x)=-x4+2x2+3,x∈[-3,2];

(2)f(x)=x3-3x2+6x-2,x∈[-1,1].

解 (1)f′(x)=-4x3+4x,

令f′(x)=-4x(x+1)(x-1)=0,得

x=-1,x=0,x=1.

当x变化时,f′(x)及f(x)的变化情况如下表:

x -3 (-3,-1) -1 (-1,0) 0 (0,1) 1 (1,2) 2 f′(x) + 0 - 0 + 0 - f(x) -60  极大

值4  极小

值3  极大

值4  -5 ∴当x=-3时,f(x)取最小值-60;

当x=-1或x=1时,f(x)取最大值4.

(2)f′(x)=3x2-6x+6=3(x2-2x+2)=3(x-1)2+3,

∵f′(x)在[-1,1]内恒大于0,∴f(x)在[-1,1]上为增函数.故x=-1时,f(x)最小值=-12;

x=1时,f(x)最大值=2.

即f(x)的最小值为-12,最大值为2.

规律方法 (1)求函数的最值,显然求极值是关键的一环.但仅仅是求最值,可用下面简化的方法求得.

①求出导数为零的点.

②比较这些点与端点处函数值的大小,就可求出函数的最大值和最小值.

(2)若函数在闭区间[a,b]上连续且单调,则最大、最小值在端点处取得.