2018-2019学年北师大版必修4 2.5从力做的功到向量的数量积 作业
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§5 从力做的功到向量的数量积

5分钟训练(预习类训练,可用于课前)

1.下列命题中正确的个数有( )

①a·0=0 ②0·a=0 ③0-= ④|a·b|=|a||b| ⑤若a≠0,则对任一非零b有a·b≠0 ⑥a·b=0,则a与b中至少有一个为0 ⑦a与b是两个单位向量,则a2=b2

A.7 B.5 C.4 D.2

解析:7个命题中只有③⑦正确.

对于①,两个向量的数量积是一个实数,应有0·a=0;

对于②,应有0·a=0;对于④,由数量积定义,有|a·b|=|a||b|·|cosθ|≤|a||b|,这里θ是a与b的夹角,只有θ=0或θ=π时,才有|a·b|=|a||b|;

对于⑤,若非零向量a、b垂直,有a·b=0;

对于⑥,由a·b=0可知a⊥b,可以都非零.

答案:D

2.已知|a|=3,|b|=6,当①a∥b,②a⊥b,③a与b的夹角为60°时,分别求a·b.

解:①当a∥b时,若a与b同向,则它们的夹角θ=0°,

∴a·b=|a||b|cos0°=3×6×1=18;

若a与b反向,则它们的夹角θ=180°,

∴a·b=|a||b|cos180°=3×6×(-1)=-18.

②当a⊥b时,它们的夹角θ=90°,

∴a·b=0.

③当a与b的夹角是60°时,有

a·b=|a||b|cos60°=3×6×=9.

3.已知|a|=10,|b|=12,a与b的夹角为120°,求a·b.

解:由定义,a·b=|a||b|cosθ=10×12×cos120°=-60.

10分钟训练(强化类训练,可用于课中)

1.给出下列命题:

①在△ABC中,若·<0,则△ABC是锐角三角形;

②在△ABC中,若·>0,则△ABC是钝角三角形;

③△ABC是直角三角形·=0;

④△ABC是斜三角形一定有·≠0.

其中,正确命题的序号是____________________.

解析:①∵·<0,∴·=-·>0.∴∠B是锐角,但并不能断定其余的两个角也是锐角.∴推不出△ABC是锐角三角形.故命题①是假命题.

②∵·>0,∴·=-·<0.∠A是钝角,因而△ABC是钝角三角形.故命题②是真命题.

③△ABC是直角三角形,则直角可以是∠A,也可以是∠B、∠C.而·=0仅能保证∠