3.4　生活中的优化问题举例

一、选择题(本大题共7小题，每小题5分，共35分)

1.以长为10的线段AB为直径作半圆，则它的内接矩形面积的最大值为(　　)

A. 10 B. 15 C. 25 D. 50

【答案】C

【解析】

【分析】

设∠NOB=θ，表示出矩形面积，再利用三角函数，可求面积的最大值

【详解】如图，设∠NOB=θ，则矩形面积S=5sinθ•2•5cosθ=50sinθ•cosθ=25sin2θ，

∴sin2θ=1时，函数取得最大值25

故Smax=25

故选：C．

【点睛】本题以半圆为载体，考查矩形的面积，研究最大值的求解，解题的关键是引入角参数．

2.若商品的年利润y(万元)与年产量x(万件)的函数关系式为y＝－x3＋27x＋123(x＞0)，则获得最大利润时的年产量为(　　)

A. 1万件 B. 2万件 C. 3万件 D. 4万件

【答案】C

【解析】

【分析】

求导y′=-3x2+27=-3（x+3）（x-3）（x＞0），从而判断函数的单调性及最值．

【详解】∵y=-x3+27x+123（x＞0），

∴y′=-3x2+27=-3（x+3）（x-3）（x＞0），

∴y=-x3+27x+123在（0，3）上是增函数，

在（3，+∞）上是减函数；

故当x=3时，获得最大利润；

故获得最大利润时的年产量为3百万件；