题意得

h(x)=(x3-x+8)·=x2+-(0＜x≤120),

h′(x)=-=(0＜x≤120).

令h′(x)=0,得x=80.

当x∈(0,80)时，h′(x)＜0,h(x)是减函数；

当x∈(80,120)时，h′(x)＞0,h(x)是增函数.

∴当x=80时，h(x)取到极小值h(80)=11.25.

因为h(x)在（0，120］上只有一个极值，所以它是最小值.

5.某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量x（吨）与每吨产品的价格p（元/吨）之间的关系式为p=24 200-x2,且生产x吨的成本为R=50 000+200x元.问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？

解：每月生产x吨时的利润为

f(x)=(24 200-x2)x-(50 000+200x)

=-x3+24 000x-50 000(x≥0),

由f′(x)=x2+24 000=0,

解得x1=200,x2=-200（舍去）.

因f(x)在［0，+∞)内只有一个点x=200使f′(x)=0，

故它就是最大值点，且最大值为

f(200)=-×(200)3+24 000×200-50 000=3 150 000.

答：每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元.

30分钟训练（巩固类训练，可用于课后）

1.以长为10的线段AB为直径作半圆，则它的内接矩形面积的最大值为（ ）

A.10 B.15 C.25 D.50

答案：C

解析：如图，设∠NOB=θ,则矩形面积S=5sinθ·2·5cosθ=50sinθ·cosθ=25sin2θ,故Smax=25.

2.曲线y=在点(4,e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )

A.e2 B.4e2 C.2e2 D.e2

答案：D

解析：∵y′=.

∴y=x在(4,e2)的导数值为e2.