2019-2020学年人教B版选修1-1 导数的综合应用 学案
2019-2020学年人教B版选修1-1         导数的综合应用    学案第1页

 2019-2020学年人教B版选修1-1 导数的综合应用 学案

考点一、求切线方程的一般方法

(1)求出函数在处的导数;

(2)利用直线的点斜式得切线方程。

要点诠释:求切线方程,首先要判断所给点是否在曲线上.若在曲线上,可用上法求解;若不在曲线上,可设出切点,写出切线方程,结合已知条件求出切点坐标,从而得方程.

考点二、判定函数的单调性

(1)函数的单调性与其导数的关系

设函数y=f(x)在某个区间内可导,则当时,y=f(x)在相应区间上为增函数;当时,y=f(x) 在相应区间上为减函数;当恒有时,y=f(x)在相应区间上为常数函数。

要点诠释:①在区间(a,b)内,是f(x)在(a,b)内单调递增的充分不必要条件!例如:而f(x)在R上递增。

②学生易误认为只要有点使,则f(x)在(a,b)上是常函数,要指出个别导数为零不影响函数的单调性,同时要强调只有在这个区间内恒有,这个函数y=f(x)在这个区间上才为常数函数。

③要关注导函数图象与原函数图象间关系。

(2)利用导数判断函数单调性的基本步骤

①确定函数f(x)的定义域;

②求导数;

③在定义域内解不等式;

④确定f(x)的单调区间。

要点诠释:函数f(x)在区间(a,b)内是单调递增或递减的判定可依据单调性定义也可利用导数,应根据问题的具体条件适当选用方法,有时须将区间(a,b)划分成若干小区间,在每个小区间上分别判定单调性。

考点三、函数的极值

(1)极值的概念

一般地,设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义,

①如果对于x0附近的所有点,都有:f(x)

②如果对于x0附近的所有点,都有:f(x)>f(x0),称f(x0)为函数f(x)的-个极小值,记作y极小值=f(x0)。

极大值与极小值统称极值。在定义中,取得极值的点称为极值点,极值点是自变量的值,极值指的是函数值。

要点诠释:

①在函数的极值定义中,一定要明确函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义,否则无从比较。

②函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的,是一个局部概念,在函数的整个定义域内可能有多个极值,也可能无极值。由定义,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。

③极大值与极小值之间无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值。极小值不一定是整个定义区间上的最小值。

④函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点。而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部,也可能在区间的端点。

⑤连续函数的某一点是极值点的充要条件是该点两侧的导数异号。我们主要讨论可导函数的极值问题,但是函数的不可导点也可能是极值点。如某些间断点也可能是极值点,再如y=|x|,x=0。

⑥可导函数在某点取得极值,则该点的导数一定为零,反之不成立。在函数取得极值处,如果曲线有切线的话,则切线是水平的,从而有。但反过来不一定。如函数y=x3,在x=0处,曲线的切线是水平的,但这点的函数值既不比它附近的点的函数值大,也不比它附近的点的函数值小。

(2)求极值的步骤

①确定函数的定义域;

②求导数;

③求方程的根;