课题 1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积

教学

目标 1.了解柱体、锥体、台体的表面积和体积计算公式（不要求记忆），提高学生的空间想象能力和几何直观能力，培养学生的应用意识，增加学生学习数学的兴趣.

2.掌握简单几何体的体积与表面积的求法，提高学生的运算能力，培养学生转化、化归以及类比的能力. 教学重、

难点 教学重点：了解柱体、锥体、台体的表面积和体积计算公式及其应用.

教学难点：表面积和体积计算公式的应用. 教学

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一、导入新课：

被誉为世界七大奇迹之首的胡夫大金字塔，在1889年巴黎埃菲尔铁塔落成前的四千多年的漫长岁月中，胡夫大金字塔一直是世界上最高的建筑物.在四千多年前生产工具很落后的中古时代，埃及人是怎样采集、搬运数量如此之多，每块又如此之重的巨石垒成如此宏伟的大金字塔，真是一个十分难解的谜.胡夫大金字塔是一个正四棱锥外形的建筑，塔底边长230米，塔高146.5米，你能计算建此金字塔用了多少石块吗？

二、讲授新课：

提出问题

①在初中，我们已经学习了正方体和长方体的表面积，以及它们的展开图（图1），你知道上述几何体的展开图与其表面积的关系吗？

正方体及其展开图(1) 长方体及其展开图(2)

图1

②棱柱、棱锥、棱台也是由多个平面图形围成的几何体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？

③如何根据圆柱、圆锥的几何结构特征，求它们的表面积？

④联系圆柱、圆锥的侧面展开图，你能想象圆台侧面展开图的形状，并且画出它吗？如果圆台的上、下底面半径分别是r′,r，母线长为l，你能计算出它的表面积吗？

⑤圆柱、圆锥和圆台的表面积之间有什么关系？

活动：①学生讨论和回顾长方体和正方体的表面积公式.

②学生思考几何体的表面积的含义，教师提示就是求各个面的面积的和.

③让学生思考圆柱和圆锥的侧面展开图的形状.

④学生思考圆台的侧面展开图的形状.

⑤提示学生用动态的观点看待这个问题.

讨论结果：①正方体、长方体是由多个平面图形围成的几何体，它们的表面积就是各个面的面积的和.因此，我们可以把它们展成平面图形，利用平面图形求面积的方法，求立体图形的表面积.

②棱柱的侧面展开图是平行四边形，其表面积等于围成棱柱的各个面的面积的和；棱锥的侧面展开图是由多个三角形拼接成的，其表面积等于围成棱锥的各个面的面积的和；棱台的侧面展开图是由多个梯形拼接成的，其表面积等于围成棱台的各个面的面积的和.

③它们的表面积等于侧面积与底面积的和，利用它们的侧面展开图来求得它们的侧面积，由于底面是圆面，其底面积直接应用圆的面积公式即得.其中，圆柱的侧面展开图是矩形，圆锥的侧面展开图是扇形.

我们知道，圆柱的侧面展开图是一个矩形（图2）.如果圆柱的底面半径为r,母线长为l，那么圆柱的底面面积为πr2,侧面面积为2πrl.因此，圆柱的表面积S=2πr2+2πrl=2πr(r+l).

图2 图3

圆锥的侧面展开图是一个扇形（图3）.如果圆锥的底面半径为r,母线长为l，那么它的表面积S=πr2+πrl=πr(r+l).

点评：将空间图形问题转化为平面图形问题，是解决立体几何问题基本的、常用的方法.

④圆台的侧面展开图是一个扇环（图4），它的表面积等于上、下两个底面的面积和加上侧面的面积，即S=π(r2+r′2+rl+r′l).

图4

⑤圆柱、圆锥、圆台侧面积的关系：

圆柱和圆锥都可以看作是圆台退化而成的几何体.圆柱可以看作是上下底面全等的圆台，圆锥可看作是上底面退化成一点的圆台，观察它们的侧面积，不难发现：

S圆柱表=2πr(r+l)S圆台表=π(r1l+r2l+r12+r22)S圆锥表=πr(r+l).

从上面可以很清楚地看出圆柱和圆锥的侧面积公式都可以看作由圆台侧面积公式演变而来.

提出问题

①回顾长方体、正方体和圆柱的体积公式，你能将它们统一成一种形式吗？并依次类比出柱体的体积公式？

②比较柱体、锥体、台体的体积公式：

V柱体=Sh(S为底面积，h为柱体的高)；

V锥体=(S为底面积，h为锥体的高)；

V台体=h(S′,S分别为上、下底面积，h为台体的高).

你能发现三者之间的关系吗？柱体、锥体是否可以看作"特殊"的台体？其体积公式是否可以看作台体体积公式的"特殊"形式？

活动：①让学生思考和讨论交流长方体、正方体和圆柱的体积公式.

②让学生类比圆柱、圆锥和圆台的表面积的关系？

讨论结果：

①棱长为a的正方体的体积V=a3=a2a=Sh；

长方体的长、宽和高分别为a,b,c，其体积为V=abc=(ab)c=Sh；

底面半径为r高为h的圆柱的体积是V=πr2h=Sh，

可以类比，一般的柱体的体积也是V=Sh，其中S是底面面积，h为柱体的高.

圆锥的体积公式是V=(S为底面面积，h为高)，它是同底等高的圆柱的体积的.

棱锥的体积也是同底等高的棱柱体积的,即棱锥的体积V= (S为底面面积，h为高).

由此可见，棱柱与圆柱的体积公式类似，都是底面面积乘高；棱锥与圆锥的体积公式类似，都是底面面积乘高的.

由于圆台（棱台）是由圆锥（棱锥）截成的，因此可以利用两个锥体的体积差，得到圆台（棱台）的体积公式V=(S′++S)h,

其中S′，S分别为上、下底面面积，h为圆台（棱台）高.

注意：不要求推导公式，也不要求记忆.

②柱体可以看作是上、下底面相同的台体，锥体可以看作是有一个底面是一个点的台体.因此柱体、锥体可以看作"特殊"的台体.当S′=0时，台体的体积公式变为锥体的体积公式;当S′=S时，台体的体积公式变为柱体的体积公式，因此，柱体、锥体的体积公式可以看作台体体积公式的"特殊"形式.

柱体和锥体可以看作由台体变化得到，柱体可以看作是上、下底面相同的台体，锥体可以看作是有一个底面是一个点的台体，因此很容易得出它们之间的体积关系,如图5：

图5

应用示例

例1 已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体S-ABC（图6），求它的表面积.

图6

活动：回顾几何体的表面积含义和求法.

分析：由于四面体S-ABC的四个面是全等的等边三角形，所以四面体的表面积等于其中任何一个面面积的4倍.

解：先求△SBC的面积，过点S作SD⊥BC，交BC于点D.

因为BC=a,SD=,

所以S△SBC=BC·SD=.

因此，四面体S-ABC的表面积S=4×.

点评：本题主要考查多面体的表面积的求法.

变式训练

1.已知圆柱和圆锥的高、底面半径均分别相等.若圆柱的底面半径为r，圆柱侧面积为S，求圆锥的侧面积.

解：设圆锥的母线长为l，因为圆柱的侧面积为S，圆柱的底面半径为r，即S圆柱侧=S，根据圆柱的侧面积公式可得：圆柱的母线（高）长为，由题意得圆锥的高为，又圆锥的底面半径为r，根据勾股定理，圆锥的母线长l=，根据圆锥的侧面积公式得

S圆锥侧=πrl=π·r·.

2.两个平行于圆锥底面的平面将圆锥的高分成相等的三段，那么圆锥被分成的三部分的体积的比是（ ）

A.1∶2∶3 B.1∶7∶19 C.3∶4∶5 D.1∶9∶27

分析：因为圆锥的高被分成的三部分相等，所以两个截面的半径与原圆锥底面半径之比为1∶2∶3，于是自上而下三个圆锥的体积之比为()∶［·2h］∶［·3h］=1∶8∶27，所以圆锥被分成的三部分的体积之比为1∶（8－1）∶（27－8）=1∶7∶19.

答案：B

3.三棱锥V-ABC的中截面是△A1B1C1，则三棱锥V-A1B1C1与三棱锥A-A1BC的体积之比是（ ）

A.1∶2 B.1∶4 C.1∶6 D.1∶8

分析：中截面将三棱锥的高分成相等的两部分，所以截面与原底面的面积之比为1∶4，将三棱锥A-A1BC转化为三棱锥A1-ABC，这样三棱锥V-A1B1C1与三棱锥A1-ABC的高相等，底面积之比为1∶4，于是其体积之比为1∶4.

答案：B

例2 如图7，一个圆台形花盆盆口直径为20 cm，盆底直径为15 cm，底部渗水圆孔直径为1.5 cm，盆壁长为15 cm.为了美化花盆的外观，需要涂油漆.已知每平方米用100毫升油漆，涂100个这样的花盆需要多少毫升油漆？（π取3.14，结果精确到1毫升，可用计算器）

图7

活动：学生思考和讨论如何转化为数学问题.只要求出每个花盆外壁的表面积，就可以求出油漆的用量.而花盆外壁的表面积等于花盆的侧面积加上底面积，再减去底面圆孔的面积.

解：如图7，由圆台的表面积公式得一个花盆外壁的表面积S=π［］-π()2≈1 000(cm2)=0.1(m2).

涂100个这样的花盆需油漆：0.1×100×100=1 000（毫升）.

答：涂100个这样的花盆需要1 000毫升油漆.

点评：本题主要考查几何体的表面积公式及其应用.

变式训练

1.有位油漆工用一把长度为50 cm，横截面半径为10 cm的圆柱形刷子给一块面积为10 m2的木板涂油漆，且圆柱形刷子以每秒5周的速度在木板上匀速滚动前进，则油漆工完成任务所需的时间是多少?（精确到0.01秒）

解：圆柱形刷子滚动一周涂过的面积就等于圆柱的侧面积，

∵圆柱的侧面积为S侧=2πrl=2π·0.1·0.5=0.1π m2，

又∵圆柱形刷子以每秒5周匀速滚动，

∴圆柱形刷子每秒滚过的面积为0.5π m2，

因此油漆工完成任务所需的时间t=≈6.37秒.

点评：本题虽然是实际问题，但是通过仔细分析后，还是归为圆柱的侧面积问题.解决此题的关键是注意到圆柱形刷子滚动一周所经过的面积就相当于把圆柱的侧面展开的面积，即滚动一周所经过的面积等于圆柱的侧面积.从而使问题迎刃而解.

2.（2007山东滨州一模，文14）已知三棱锥O-ABC中，OA、OB、OC两两垂直，OC=1,OA=x，OB=y，且x+y=4，则三棱锥体积的最大值是___________.

分析：由题意得三棱锥的体积是(x-2)2+，由于x＞0，则当x=2时，三棱锥的体积取最大值.

答案：

例3 有一堆规格相同的铁制（铁的密度是7.8 g/cm3）六角螺帽（图8）共重5.8 kg,已知底面是正六边形，边长为12 mm,内孔直径为10 mm,高为10 mm，问这堆螺帽大约有多少个?（π取3.14）

图8

活动：让学生讨论和交流如何转化为数学问题.六角帽表示的几何体是一个组合体，在一个六棱柱中间挖去一个圆柱，因此它的体积等于六棱柱的体积减去圆柱的体积.

解：六角螺帽的体积是六棱柱体积与圆柱体积的差，即V=×122×6×10-3.14×()2×10≈2 956(mm3)=2.956(cm3).

所以螺帽的个数为5.8×1 000÷(7.8×2.956)≈252(个).

答：这堆螺帽大约有252个.

点评：本题主要考查几何体的体积公式及其应用.

课堂小结：

本节课学习了：

1.柱体、锥体、台体的表面积和体积公式.

2.应用体积公式解决有关问题.

布置作业：

习题1.3 A组 第1、2、3题.