一数学归纳法

　　1．数学归纳法的概念

　　先证明当n取第一个值n0(例如可取n0＝1)时命题成立，然后假设当n＝k(k∈N＋，k≥n0)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．这种证明方法叫做数学归纳法．

　　2．数学归纳法适用范围

　　数学归纳法的适用范围仅限于与正整数有关的数学命题的证明．

　　3．数学归纳法证明与正整数有关的数学命题步骤

　　(1)证明当n取第一个值n0(如取n0＝1或2等)时命题成立；

　　(2)假设当n＝k(k∈N＋，k≥n0)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．

　　由此可以断定，对于任意不小于n0的正整数n，命题都成立．

利用数学归纳法证明等式 　　[例1]　用数学归纳法证明12－22＋32－42＋...＋(－1)n－1·n2＝(－1)n－1.

　　[思路点拨]　首先判断第1步是否满足，然后考虑由n＝k到n＝k＋1时增加了哪些项，进行分析变形，从而证明等式．

　　[证明]　(1)当n＝1时，左边＝12＝1，右边＝(－1)0·＝1，所以等式成立．

　　(2)假设n＝k(k∈N＋，k≥1)时，等式成立，即有12－22＋32－42＋...＋(－1)k－1·k2＝(－1)k－1.

　　那么，当n＝k＋1时，则有

　　12－22＋32－42＋...＋(－1)k－1·k2＋(－1)k(k＋1)2

　　＝(－1)k－1＋(－1)k(k＋1)2

＝(－1)k[－k＋2(k＋1)]