2019-2020学年北师大版必修二 线与圆、圆与圆的位置关系 教案
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2019-2020学年北师大版必修二 线与圆、圆与圆的位置关系 教案

典例精析

题型一 直线与圆的位置关系的判断

【例1】已知圆的方程x2+y2=2,直线y=x+b,当b为何值时,

(1)直线与圆有两个公共点;

(2)直线与圆只有一个公共点.

【解析】方法一:(几何法)

设圆心O(0,0)到直线y=x+b的距离为d,d==,半径r=.

当d<r时,直线与圆相交,<,-2<b<2,

所以当-2<b<2时,直线与圆有两个公共点.

当d=r时,直线与圆相切, =,b=±2,

所以当b=±2时,直线与圆只有一个公共点.

方法二:(代数法)

联立两个方程得方程组

消去y得2x2+2bx+b2-2=0,Δ=16-4b2.

当Δ>0,即-2<b<2时,有两个公共点;

当Δ=0,即b=±2时,有一个公共点.

【点拨】解决直线与圆的位置关系的问题时,要注意运用数形结合思想,既要运用平面几何中有关圆的性质,又要结合待定系数法运用直线方程中的基本关系,养成勤画图的良好习惯.

【变式训练1】圆2x2+2y2=1与直线xsin θ+y-1=0(θ∈R,θ≠kπ+,k∈Z)的位置关系是(  )

A.相离 B.相切 C.相交 D.不能确定

【解析】选A.易知圆的半径r=,设圆心到直线的距离为d,则d=.

因为θ≠+kπ,k∈Z.所以0≤sin2θ<1,

所以<d≤1,即d>r,所以直线与圆相离.

题型二 圆与圆的位置关系的应用

【例2】如果圆C:(x-a)2+(y-a)2=4上总存在两个点到原点的距离为1,求实数a的取值范围.

【解析】到原点的距离等于1的点在单位圆O:x2+y2=1上.当圆C与圆O有两个公共点时,符合题意,故应满足2-1<|OC|<2+1,