1.1.3 三个正数的算术-几何平均不等式

典题精讲

【例1】 已知x∈R+，求函数y=x(1-x2)的最大值.

思路分析：为使数的"和"为定值，可以先平方，即y2=x2(1-x2)2=x2(1-x2)(1-x2)=2x2(1-x2)(1-x2)×.最先求出最值后再开方.

解：∵y=x(1-x2),

∴y2=x2(1-x2）2=2x2(1-x2)(1-x2)·.

∵2x2+(1-x2)+(1-x2)=2,

∴y2≤.

当且仅当2x2=1-x2=1-x2,即x=时取"="号.

∴y≤.∴y的最大值为.

黑色陷阱：拼凑数学结构，以便能利用均值不等式求最值，是必须掌握的一种解题方法，但拼凑要合理，且要符合适用的条件，对于本题，有的学生可能这样去拼凑：

y=x(1-x2)=x(1-x)(1+x)=·x(2-2x)(1+x)≤3

=.

虽然其中的拼凑过程保证了三个数的和为定值，但忽略了取"="号的条件，显然x=2-2x=1+x无解，即无法取"="号，也就是说，这种拼凑法是不对的.这就要求平时多积累一些拼凑方法的题型及数学结构，同时注意均值不等式的使用条件，三个缺一不可.

【变式训练1】 θ为锐角，求y=sinθ·cos2θ的最大值.

思路分析：本题的目标函数为积结构，故应创设各因子的和为定值.要特别注意sin2θ+cos2θ=1的应用.

解：y2=sin2θ·cos2θ·cos2θ=·2sin2θ(1-sin2θ)(1-sin2θ)

≤()3=.

当且仅当2sin2θ=1-sin2θ,即sinθ=时取等号.

此时ymax=.

【变式训练2】 已知x∈R+，求函数y=x2(1-x)的最大值.

思路分析：本题积结构中x2=x·x,所以y=x2(1-x)=x×x(1-x),为使"和"为定值，还需拼