直线与圆的方程的应用（二）

　　【教学目标】

　　1、坐标法求直线和圆的应用性问题；

　　2、面积最小圆、中点弦问题的解决方法.

　　【教学重难点】

　　教学重点：坐标法求直线和圆的应用性问题．

　　教学难点：面积最小圆、中点弦问题的解决方法．

　　【教学过程】

　　1、面积最小圆问题、中点弦轨迹问题

例1、求通过直线与圆的交点，且面积最小的圆的方程.

结论：解法一：利用过两曲线交点的曲线系.我们可以设圆的方程为

.配方得到标准式方程如下所示，可以得到，当时，此时半径，所求圆的方程为.解法二：利用平面几何知识.以直线与圆的交点连线为直径的圆符合条件.把两个方程式联立，消去，得.因为判别式大于零，我们可以根据根与系数的关系也即韦达定理得到线段的中点的横坐标为，，又半径（弦长公式），所以所求的圆的方程是:.解法三：我们可以求出两点的坐标，根据两点间距离公式和中点坐标公式求出半径和圆心，求出圆的方程.

　　变式练习：求圆上的点到的最远、最近的距离。

　　例2、已知圆O的方程为，求过点所作的弦的中点的轨迹.

结论：解法一：参数法（常规方法）设过A所在的直线方程为y-2=k(x-1)(k存在时），P（x,y)，则，消去y，得到如下方程所以我们可以得到下面结果，利用中点坐标公式及中点在直线上，得：(k为参数）.消去k得P点的轨迹方程为，当k不存在时，中点P（1，0）的坐标也适合方程.所以P点的轨迹是以点（1/2,1)为圆心，为半径的圆.解法二：代点法（涉及中点问题可考虑此法）我们可以设过点A的弦为MN，则可以设两点的坐标为.因为M、N都在圆上，所以我们可以得到，然后我们把两式向减可以得到：设P（x,y)则.所以由这个结论和M、N、P、A四点共线，可以得到.所以2x+[ (y-2)/(x-