构造复数求一类函数的值域

　　对于形如的函数值域问题，一般用数形结合方法求解，学生只是简单的记忆结论，并没有从理论上真正理解，在教学实践中，笔者认为利用构造复数的方法求解，既简单，学生又易于理解，不失为一个好的方法。

　　例1、求函数y=的最小值以及取得最小值时x的值。

　　[解析]先将所给函数变形得，建立复平面如图示，设P对应复数为z, A对应复数为1+2i, B对应复数为2-3i,从而原题转化为求y=|z-1-2i|+|z-2+3i|的最小值。又y=|z-1-2i|+|z-2+3i|=|z-1-2i|+|（-1）（z-2+3i|| z-1-2i-z+2-3i|=|1-5i|

　　=,等号成立的条件是、同向共线，此时容易求得x=

　　例2、求函数y=的最大值以及取得最大值时x的值。

　　[解析]先将所给函数变形得，建立复平面如图示，设P对应复数为z, A对应复数为1+2i, B对应复数为2+3i,从而原题转化为求y=|z-1-2i|+|z-2-3i|的最大值。又y=|z-1-2i|-|z-2-3i|=|z-1-2i|-|（-1）（z-2-3i|

　　| z-1-2i-z+2+3i|=|1+i|=，等号成立的条件是、异向共线，

　　此时容易求得x=-1

　　说明：利用此种方法还可以求三个根号和的最值问题。

　　例3、三个村庄A、B、C，AC=1,BC=,AB=2.先要建一个水站向三个村庄供水，问如何选址可以使铺设管道的长度最短？

[解析]三个村庄的距离符合勾股定理，故可以CB、CA所在直线为轴建立复平面，设水站位置为Z，对应的复数为z,则所需铺设的管道长d=|z|+|z-i|+|z-|= |z| +|(z-i)|+|(z-)|= |=,其中，等号成立的条件当且仅当z、(z-i)、(z-)同向共线，即时成立