2018-2019学年人教A版选修4-5 第四讲 用数学归纳法证明不等式 优化总结 学案
2018-2019学年人教A版选修4-5 第四讲 用数学归纳法证明不等式 优化总结 学案第1页

  本讲优化总结

  ,        [学生用书P61])

  

  

  

   用数学归纳法证明恒等式[学生用书P62]

  证明代数恒等式的关键是:第二步将式子转化成与归纳假设结构相同的形式--凑假设,然后利用归纳假设,经过恒等变形,得到结论所需要的形式--凑结论.

   用数学归纳法证明:12-22+32-42+...+(2n-1)2-(2n)2=-n(2n+1)(n∈N+).

  【证明】 (1)当n=1时,

  左边=12-22=-3,右边=-1×(2×1+1)=-3,等式成立.

  (2)假设当n=k(k≥1,k∈N+)时,等式成立,即

  12-22+32-42+...+(2k-1)2-(2k)2

  =-k(2k+1),

  则当n=k+1时,

  12-22+32-42+...+(2k-1)2-(2k)2+(2k+1)2-[2(k+1)]2

  =-k(2k+1)+(2k+1)2-[2(k+1)]2=-2k2-5k-3

  =-(k+1)(2k+3)

  =-(k+1)[2(k+1)+1],

  即当n=k+1时,等式成立.

由(1)(2)可知,对任何n∈N+等式都成立.