3．2　立体几何中的向量方法

　　第1课时　空间向量与平行、垂直关系

　　　1.理解直线的方向向量与平面的法向量的概念．　2.会求平面的法向量．

　　3．能利用直线的方向向量和平面的法向量判断并证明空间中的平行、垂直关系．

　　1．直线的方向向量和平面的法向量

　　(1)直线的方向向量

　　直线的方向向量是指和这条直线平行或共线的向量，一条直线的方向向量有无数个．

　　(2)平面的法向量

　　直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量．

　　2．空间平行关系的向量表示

　　(1)线线平行

　　设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，则l∥m⇔a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．

　　(2)线面平行

　　设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.

　　(3)面面平行

　　设平面α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔u∥v⇔u＝λv⇔a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．

　　3．空间垂直关系的向量表示

　　(1)线线垂直

　　设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b＝(b1，b2，b3)，则l⊥m⇔a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0．

　　(2)线面垂直

　　设直线l的方向向量是a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量是u＝(a2，b2，c2)，则l⊥α⇔a∥u⇔a＝λu⇔a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．

　　(3)面面垂直

　　若平面α的法向量u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量v＝(a2，b2，c2)，则α⊥β ⇔ u⊥v ⇔ u·v＝0 ⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0．