2019-2020学年北师大版选修2-1 立体几何中的向量方法 教案
2019-2020学年北师大版选修2-1     立体几何中的向量方法  教案第1页

空间角与距离的计算举例

【学情分析】:

  教学对象是高二的学生,学生已经具备空间向量与立方体几何的相关知识,上次课已经学习了直线的方向向量和平面的法向量,所以本节课是通过举例来求空间的距离和角。我们可以将空间中的有关距离和角的问题,转化为空间向量的数量积来解决。

【教学目标】:

  (1)知识与技能:能用向量方法进行有关距离的计算;能用向量方法解决线线、线面与面面的夹角的计算问题.

  (2)过程与方法:在解决问题中,通过数形结合的思想方法,加深对相关知识的理解。

  (3)情感态度与价值观:体会把立方体几何几何转化为向量问题优势,培养探索精神。

【教学重点】:

将空间角与距离的计算转化为向量的夹角与模来计算.

【教学难点】:

将空间角与距离的计算转化为向量的夹角与模来计算.

【教学过程设计】:

教学环节 教学活动 设计意图 一、复习引入

1. 两个向量的数量积如何运算?

2. 向量的模与向量的数量积是什么关系?

3. 向量的加法法则。 为探索新知识做准备. 二、探究与练习

一、用空间向量解决立体几何问题的"三步曲"

  学生回顾用平面向量解决平面几何问题的"三步曲",与老师共同得出用空间向量解决立体几何问题的"三步曲":

 (1)建立立体图形与空间向量的联系,用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面,把立体几何问题转化为向量问题;(化为向量问题)

 (2)通过向量运算,研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题;(进行向量运算)

 (3)把向量的运算结果"翻译"成相应的几何意义。(回到图形问题)

二、例题

  例1:如图1:一个结晶体的形状为四棱柱,其中,以顶点A为端点的三条棱长都相等,且它们彼此的夹角都是60°,那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系?

  解:如图1,设

  

  化为向量问题

  依据向量的加法法则,

  进行向量运算

  

  

  

  

回到图形问题

这个晶体的对角线 的长是棱长的 倍。

思考:

(1)本题中四棱柱的对角线BD1的长与棱长有什么关系?

  分析:

(2)如果一个四棱柱的各条棱长都相等,并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于 , 那么有这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长吗?

分析:

∴ 这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长。

(3)本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少?(提示:求两个平行平面的距离,通常归结为求两点间的距离)

分析:面面距离 点面距离 向量的模 回归图形

  解:

  

练习:

  如图2,空间四边形OABC各边以及AC,BO的长都是1,点D,E分别是边OA, BC的中点,连结DE,计算DE的长

  例2:如图3,甲站在水库底面上的点A处,乙站在水坝斜面上的点B处。从A,B到直线 (库底与水坝的交线)的距离AC和BD分别为

a和b,CD的长为c, AB的长为d。求库底与水坝所成二面角的余弦值

  解:如图

化为向量问题

根据向量的加法法则

  进行向量运算

  

  

  

  

设向量与的夹角为,就是库底与水坝所成的二面角。

因此

  回到图形问题

  库底与水坝所成二面角的余弦值为

思考:

(1)本题中如果夹角 可以测出,而AB未知,其他条件不变,可以计算出AB的长吗?

分析:

∴ 可算出 AB 的长。

  (2)如果已知一个四棱柱的各棱长和一条对角线的长,并且以同一顶点为端点的各棱间的夹角都相等,那么可以确定各棱之间夹角的余弦值吗?

分析:如图,设以顶点A为端点的对角线长为d,三条棱长分别为 a,b,c,各棱间夹角为.

  (3)如果已知一个四棱柱的各棱长都等a,并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于,那么可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值吗?

分析:二面角 平面角 向量的夹角 回归图形

  解:如图,在平面 AB1 内过 A1 作 A1E⊥AB 于点 E,在平面 AC 内作 CF⊥AB 于 F。

∴可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值。

练习:

(1)如图4,60°的二面角的棱上有A、B两点,直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直AB,已知AB=4,AC=6,BD=8,求CD的长。

2)三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是边长为2的正三角形,∠A1AB=45°,∠A1AC=60°,求二面角B-A A1-C的平面角的余弦值。

让学生通过回顾寻找将立体几何问题转化为向量问题的步骤。

例1的图形比较规范,容易把握,可以让学生很好地体会向量解题的优势。

提醒学生不能缺少这一步。

转化为向量。

这是例题1的推广,方法类似,学生进一步体会.

让学生体会空间距离的转化。

及时进行类比训练,巩固所学方法和技能。

例2是关于角的有关问题,引导学生找到相应的向量进行转化。

以下设计与例1类似。