3.2　双曲线的简单性质

学习目标 重难点 1．掌握双曲线的范围、顶点、离心率、渐近线等几何性质．

2．能够解决一些简单的双曲线问题. 重点：双曲线的几何性质及各元素间的关系．

难点：双曲线的渐近线和离心率的有关问题. 　　

　　双曲线的简单性质

　　设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，其简单性质如下：

　　(1)双曲线是以__________为对称轴的____________，也是以______为对称中心的____________________，这个对称中心称为双曲线的______．

　　(2)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)都在两条平行直线______________的两侧，因此双曲线上点的横坐标满足____________．

　　(3)双曲线与它的对称轴的交点________________叫作双曲线的______．显然______是双曲线两支上的点中距离最近的点．两个顶点间的线段A1A2叫作双曲线的______，它的长度等于______．设B1(0，－b)，B2(0，b)为y轴上的两个点，我们把线段B1B2叫作双曲线的______，它的长度为______．a为__________， b为____________．

　　(4)____________叫作双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率，因为c＞a＞0，所以e＝____1.____________决定双曲线的开口大小，越大，双曲线的开口就______．

　　(5)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为________________．

　　预习交流

　　(1)做一做：等轴双曲线(实轴长与虚轴长相等的双曲线)的离心率和渐近线方程分别是什么？

　　(2)想一想：双曲线与椭圆的离心率有哪些异同？

　　答案：(1)x轴和y轴　轴对称图形　原点　中心对称图形　中心

　　(2)x＝－a和x＝a　x≤－a或x≥a

　　(3)A1(－a,0)，A2(a,0)　顶点　顶点　实轴　2a

　　虚轴　2b　实半轴长　虚半轴长

　　(4)＝e　＞　　越大

　　(5)y＝±x

　　预习交流：

　　(1)提示：等轴双曲线是一种特殊的双曲线，离心率为e＝，渐近线方程为y＝±x.

　　(2)提示：双曲线的离心率算法与椭圆相同，都是e＝，但因c＞a，所以e＞1.又因为双曲线与椭圆的形状不同，所以离心率的几何意义不同，对于椭圆，它决定其"扁平"程度，而对于双曲线，它决定其"张口"大小．

在预习中，还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！