9.5　圆锥曲线综合问题

典例精析

题型一　求轨迹方程

【例1】已知抛物线的方程为x2＝2y，F是抛物线的焦点，过点F的直线l与抛物线交于A、B两点，分别过点A、B作抛物线的两条切线l1和l2，记l1和l2交于点M.

(1)求证：l1⊥l2；

(2)求点M的轨迹方程.

【解析】(1)依题意，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋.

联立消去y整理得x2－2kx－1＝0.设A的坐标为(x1，y1)，B的坐标为(x2，y2)，则有x1x2＝－1，将抛物线方程改写为y＝x2，求导得y′＝x.

所以过点A的切线l1的斜率是k1＝x1，过点B的切线l2的斜率是k2＝x2.

因为k1k2＝x1x2＝－1，所以l1⊥l2.

同理直线l2的方程为y－＝x2(x－x2).

联立这两个方程消去y得－＝x2(x－x2)－x1(x－x1)，

整理得(x1－x2)(x－)＝0，

注意到x1≠x2，所以x＝.

此时y＝＋x1(x－x1)＝＋x1(－x1)＝＝－.

由(1)知x1＋x2＝2k，所以x＝＝k∈R.

所以点M的轨迹方程是y＝－.

【点拨】直接法是求轨迹方程最重要的方法之一，本题用的就是直接法.要注意"求轨迹方程"和"求轨迹"是两个不同概念，"求轨迹"除了首先要求我们求出方程，还要说明方程轨迹的形状，这就需要我们对各种基本曲线方程和它的形态的对应关系了如指掌.

【变式训练1】已知△ABC的顶点为A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是(　　)

A.－＝1 B.－＝1