§1.1 回归分析的基本思想及其初步（二）

【学情分析】：

　　教学对象是高二文科学生，学生已掌握建立线性回归模型的知识，并能用所学知识解决一些简单的实际问题。在教学中，要结合实例让学生了解评价回归效果的三个统计量：总偏差平方和、残差平方和、回归平方和。初步了解可以通过求回归模型的相关指数或利用残差分析不同的回归模型的拟合精确度。在起点低的班级中注重让学生参与实践，鼓励学生通过收集数据，经历数据处理的过程，从而进一步体会回归分析中的数理计算，初步形成运用统计方法解决实际问题的基本思想，认识统计方法在决策中的作用。让学生直观的观察、思考，借助于线性回归模型研究呈非线性关系的两个变量之间的关系。

【教学目标】：

（1）知识与技能：

了解评价回归效果的三个统计量：总偏差平方和、残差平方和、回归平方和；了解偏差平方和分解的思想；了解判断刻画模型拟合效果的方法--相关指数和残差分析；了解非线性模型通过变换转化为线性回归模型。

（2）过程与方法：

　　本节内容先从大学中女大学生的甚高和体重之间的关系入手，求出相应的回归直线方程，从中也找出存在的不足，从而有进行回归分析的必要性，进而学习相关指数，用相关指数来刻画回归的效果。

（3）情感态度与价值观：

　　从实际问题中发现自己已有知识的不足之处，激发学生的好奇心和求知欲，培养学生不满足于已有知识，勇于求知的良好个性品质，引导学生积极进取。

【教学重点】：

　　1、了解判断刻画模型拟合效果的方法--相关指数和残差分析；

　　2、通过探究使学生体会有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型。

【教学难点】：

1、 解释残差变量的含义；

　　2、了解偏差平方和分解的思想。

【课前准备】：

　　课件

【教学过程设计】：

教学环节 教学活动 设计意图 一、创设情境 1．由例1知，预报变量（体重）的值受解释变量（身高）或随机误差的影响。

2．问题一：为了刻画预报变量（体重）的变化在多大程度上与解释变量（身高）有关？在多大程度上与随机误差有关？

　　我们引入了评价回归效果的三个统计量：总偏差平方和、残差平方和、回归平方和。 　　引入回归分析的效果评价的三个统计量 二、探究新知 ⑴总偏差平方和：每个效应（观测值减去总的平均值）的平方加起来，即用表示总的效应；

　　学生动手计算出例1中的总偏差平方和。

⑵残差平方和：数据点和它在回归直线上相应的位置的差异是随机误差的效应，称为残差，为残差平方和；

　　学生动手计算出例1中的残差（如下表）与残差平方和。

编号 1 2 3 4 5 6 7 8 身高/cm 165 165 157 170 175 165 155 170 体重/kg 48 57 50 54 64 61 43 59 yi 54.373 54.373 47.581 58.618 62.863 54.373 45.883 58.618 ei -6.373 2.627 2.419 -4.618 1.137 6.627 -2.883 0.382 　　

⑶回归平方和：解释变量和随机误差的总效应（总偏差平方和），即总的偏差平方和＝回归平方和＋残差平方和，所以

回归平方和=总的偏差平方和－残差平方和

　　学生动手计算出例1中的回归平方和。

学习要领：①注意、、的区别；

②预报变量的变化程度可以分解为由解释变量引起的变化程度与残差变量的变化程度之和；

③当总偏差平方和相对固定时，残差平方和越小，则回归平方和越大，此时模型的拟合效果越好；

④对于多个不同的模型，我们还可以引入相关指数来刻画回归的效果，它表示解释变量对预报变量变化的贡献率. 的值越接近于1，说明残差平方和越小，也就是说模型拟合的效果越好，即解释变量和预报变量的线相关性越强.

　　代入例1中的数据知例1中的，即解释变量对总效应约贡献了64%，而随机误差贡献了剩余的36%，所以身高对体重的效应比随机误差的效应大得多。

问题二：观察图1．1-5中的残差图，样本点是如何分布？有无异常情况（个别数据对应残差过大，或残差呈现不随机的规律性等等）？

　　师：提出问题，指导学生画出残差图（以残差为纵坐标，样本编号或身高或体重为横坐标作出图形），引导学生进行残差分析，从而做到检查数据是否有误，或模型是否合适等。

　　生：分析、讨论。

　　从残差图中可以看到第1个样本点和第6个样本点的残差较大，需要确认是否出现采集的错误，指导学生去掉这两个数据后重新再计算回归方程与相关指数，了解到拟合的效果会更好。

　　引导学生归纳残差所能说明的情况：

① 样本点的残差比较大，确认采集数据时是否出现人为的错误或其他原因；

② 残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，带状区域的宽度越窄，模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高。 　　结合实例由结果分析残差图是否异常，养成从实际问题出发，抽象为数学问题中的线性回归问题，从而指导实际问题的解决。

引导学生利用残差也可以分析所求出的模型的拟合效果

通过学生动手计算感受相关指数与残差分析说明回归方程的预报情况。