1.3.1 单调性与最大(小)值

1. 函数单调性的概念

一般地，设函数f(x)的定义域为I：

如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1

如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数．

如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．

函数单调性的概念从以下四个方面理解：

(1) 定义中的x1，x2具有三个特征：

①任意性，即"任意取x1，x2"，"任意"二字决不能丢掉，证明单调性时更不能随意用两个特殊值替换；

②有大小，通常规定x1

③同属于一个单调区间．三者缺一不可．

(2)函数的单调性是函数在某个区间上的性质，这个区间M⊆A.(A为函数的定义域)

(3)函数的单调性是指函数值在定义域内或定义域的某个区间内的变化趋势，是增加或减少的一种定性描述，它是函数的局部性质．

(4)单调区间端点的写法，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，没有增减变化，所以不存在单调性问题，因此在写单调区间时，可以包括端点，也可以不包括端点，但对于某些无意义的点，单调区间不包括这些点．

2.函数单调性的判断与证明

(1)函数单调性的判断方法有三种：一是依据单调性的定义；二是依据函数的图象；三是依据已知函数的单调性判断．如已学过的一次函数、二次函数、反比例函数的单调性情况．

(2)函数单调性的证明方法：,依据定义进行证明．其步骤如下：

①取值：即设x1，x2是该区间上的任意两个值，且x1

②作差变形：即作差f(x1)－f(x2)，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形；

③定号：确定差f(x1)－f(x2)的符号，当符号不确定时，可以分情况讨论；

④判定：依据定义得出结论．

2. 函数的最大(小)值

设函数的定义域为I，如果存在实数M满足：

① 对于任意的x∈I，都有f(x)≤M(或f(x)≥M)；

② ②存在x0∈I，使得f(x0)＝M.,那么，我们就称M是函数y＝f(x)的最大值(或最小值)．,注意以下三个问题：

(1)首先M是一个函数值，它是值域的一个元素．如f(x)＝－x2 (x∈R)的最大值为0，有f(0)＝0，注意对②中"存在"一词的理解．

(2)对于定义域内全部元素，都有f(x)≤M(或f(x)≥M)成立．"任意"是说对每一个值都必须满足不等式．

(3)这两个条件缺一不可，若只有①，M不是最大(小)值，如f(x)＝－x2 (x∈R)，对任意x∈R