第二课时　复合函数求导及应用

复合函数 　　已知y＝(3x＋2)2，y＝sin.

　　问题1：这两个函数是复合函数吗？

　　提示：是复合函数．

　　问题2：试说明y＝(3x＋2)2是如何复合的．

　　提示：令u＝g(x)＝3x＋2，y＝f(u)＝u2，

　　则y＝f(u)＝f(g(x))＝(3x＋2)2.

　　问题3：试求y＝(3x＋2)2，f(u)＝u2，g(x)＝3x＋2的导数．

　　提示：y′＝(9x2＋12x＋4)′＝18x＋12，f′(u)＝2u，g′(x)＝3.

　　问题4：观察问题3中的导数有何关系．

　　提示：y′＝′＝f′(u)·g′(x)．

　　1．复合函数的概念

　　对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成 x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．

　　2．复合函数的求导法则

　　复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．

　　对复合函数概念的理解

　　(1)在复合函数中，内层函数的值域必须是外层函数定义域的子集．

　　(2)对于复合函数，中间变量应该选择基本初等函数．判断一个函数是基本初等函数的标准是：运用求导公式可直接求导．

简单的复合函数求导问题 　　　求下列函数的导数：

　　(1)y＝；(2)y＝esin x；

(3)y＝sin；(4)y＝5log2(2x＋1)．