空间向量与立体几何

学习目标　1.理解空间向量的概念，掌握空间向量的运算法则及运算律.2.掌握空间向量数量积的运算及其应用，会用数量积解决垂直问题、夹角问题.3.理解空间向量基本定理，掌握空间向量的坐标表示.4.会用基向量法、坐标法表示空间向量.5.会用向量法解决立体几何问题．

知识点一　空间中点、线、面位置关系的向量表示

设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为μ，v，则

线线平行 l∥m⇔a∥b⇔a＝kb ，k∈R 线面平行 l∥α⇔a⊥μ⇔a·μ＝0 面面平行 α∥β⇔μ∥v⇔μ＝kv，k∈R 线线垂直 l⊥m⇔a⊥b⇔a·b＝0 线面垂直 l⊥α⇔a∥μ⇔a＝kμ，k∈R 面面垂直 α⊥β⇔μ⊥v⇔μ·v＝0 线线夹角 l，m的夹角为θ(0≤θ≤)，cos θ＝ 线面夹角 l，α的夹角为θ(0≤θ≤)，sin θ＝ 面面夹角 α，β的夹角为θ(0≤θ≤)，cos θ＝ 知识点二　用坐标法解决立体几何问题的步骤

(1)建立适当的空间直角坐标系；

(2)写出相关点的坐标及向量的坐标；

(3)进行相关坐标的运算；

(4)写出几何意义下的结论．

关键点如下：

(1)选择恰当的坐标系．坐标系的选取很重要，恰当的坐标系可以使得点的坐标、向量的坐标易求且简单，简化运算过程．

(2)点的坐标、向量的坐标的确定．将几何问题转化为向量的问题，必须确定点的坐标、直线的方向向量、平面的法向量，这是最核心的问题．

(3)几何问题与向量问题的转化．平行、垂直、夹角问题都可以通过向量计算来解决，如何转化也是这类问题解决的关键．