存在性问题

课程目标

知识点 考试要求 具体要求 考察频率 存在性问题 C 掌握存在性问题的思想，能用相关知识解决存在性问题. 少考 知识提要

存在性问题

不等式​存在性问题通常转化为求函数的最大值或最小值的问题，也可以先分离变量，再转化为求函数最大值或最小值的问题．​

① 存在 x 使得 f(x)>a 成立，转化为 f(x)_max>a

② 存在 x 使得 f(x)

③ 存在 x 使得 f(x)⩾a 成立，转化为 f(x)_max⩾a​

④ 存在 x 使得 f(x)⩽a 成立，转化为 f(x)_min⩽a​

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精选例题

存在性问题

1. 不等式 (3x^2+2x+2)/(x^2+x+1)⩾m 对任意实数 x 都成立，则实数 m 的取值范围是 ．

【答案】 m⩽2

【分析】 不等式 (3x^2+2x+2)/(x^2+x+1)⩾m，化为 (3-m) x^2+(2-m)x+(2-m)⩾0．

因为不等式 (3x^2+2x+2)/(x^2+x+1)⩾m 对任意实数 x 都成立，

所以 (3-m) x^2+(2-m)x+(2-m)⩾0．对任意实数 x 都成立，

当 m=3 时，化为 x+1⩽0，不满足要求，舍去；

当 m≠3 时，变形满足 {■(3-m>0@Δ=(2-m)^2-4(3-m)(2-m)⩽0)┤，