定值定点与存在性问题-教师版

一.综述

　　圆锥曲线的综合问题一般以直线和圆锥曲线的位置关系为载体，以参数处理为核心，考查范围、最值问题，定点、定值问题，探索性问题．

　　其中定点、定值问题的常用处理策略:

　　(1)由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式：y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式：y＝kx＋m，则直线必过定点(0，m)．

　　(2)解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等与题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值．

二.例题精讲 破解规律

例1.已知椭圆C:x^2/a^2 +y^2/b^2 =1（a>b>0）的两个焦点F_1 (-√2,0)，F_2 (√2,0)，点P(1,√6/3)在此椭圆上.

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点M(1,0)的直线l与椭圆C相交于A,B两点，设点N(3,2)，记直线AN,BN的斜率分别为k_1,k_2，求证：k_1+k_2为定值.

分析：第（1）问，根据题意列出关于a,b,c的方程组，解方程组即可. (2)先求出k_1+k_2的表达式，再化简为定值.

答案:（1）x^2/3+y^2=1（2）见解析

解析：（Ⅰ）依题意知：{█(c=√2@a^2=b^2+c^2@1/a^2 +〖(√6/3)〗^2/b^2 =1) " " ∴a^2=3" " b^2=1，

∴椭圆方程为x^2/3+y^2=1；

（Ⅱ）∵直线AB过点M(1，0)，∴设直线AB的方程为x=my+1，再设A（x1，y1），B（x2，y2），

由{█(x^2/3+y^2=1@x=my+1) ，消x得：（m2+3）y2+2my﹣2=0，

∴y_1+y_2=-2m/(m^2+3),y_1⋅y_2=-2/(m^2+3)，

∵N（3，2），∴k_1=(y_1-2)/(x_1-3),k_2=(y_2-2)/(x_2-3)，

∴k_1+k_2=(y_1-2)/(x_1-3)+(y_2-2)/(x_2-3)=((y_1-2)(x_2-3)+(x_1-3)(y_2-2))/((x_1-3)(x_2-3))

=((y_1-2)(my_2+1-3)+(my_1+1-3)(y_2-2))/((my_1+1-3)(my_2+1-3))=(2my_1 y_2-2(m+1)(y_1+y_2)+8)/(m^2 y_1 y_2-2m(y_1+y_2)+4)

=((-4m)/(m^2+3)+2(m+1)2m/(m^2+3)+8)/((2m^2)/(m^2+3)+(4m^2)/(m^2+3)+4)=(12m^2+24)/(6m^2+12)=2为定值.

点评:本题的第（2）问的化简主要是利用了韦达定理和直线的方程x=my+1.在化简过程中同时涉及到通分，计算比较复杂，要认真计算.