导​数​概​念​背​景

对中学微分学采用哪两个实例？确需认真。应考虑到学生的知识程度、理解能力，我们主张采用牛顿、莱布尼兹创立微积分时分别用过的两个经典实例"瞬时速度"和"切线斜率"。从直观的角度来讲，极限是我们观察运动细节的方式，运用这种方式，可以很自然地描述我们关于运动的细节的任何概念。关于运动变化发展的一个很基本的观念，就是变化的观念。应该说这个观念的起源并不是以极限的观念为前提的，但是要清楚地表述变化率的概念，则非使用极限作为工具不可。在实际问题当中，变化率的概念总是两个变量的比值，甚至一般是两个取确定大小的变量的比值，但这种作法从严格的意义上讲，是一种近似。导数的概念可以用几何图形得到非常直观的表达，因为本来微积分的概念就有很强的几何直观性质，而我们学习微积分，从几何直观的角度来理解与把握抽象概念，则是一个不二法门，希望同学们认真对待。

应用导数概念描述物理量。导数概念具有很强的实际问题的背景，而我们在实际问题当中总是能够遇到大量的需要应用导数概念来加以刻划的概念，甚至可以说，导数的概念构成一种思路，当我们在处理真实世界的问题时，常常遵循这个思路来获得对于实际对象的性质的刻划。前面我们已经讨论了导数的几何意义，其实完全可以反过来说，正是由于当初在几何学问题中，为了要描述斜率这个概念，才启发人们建立了抽象的一般的导数的概念。而在其他的领域，这种相互发明的情况是屡见不鲜的。比方说在物理学领域，需要大量地应用导数的概念，来刻划属于变化率，增长率，强度，通量，流量等等一大类的物理量。例如速度，加速度，电流强度，热容，等等。而我们在实际问题当中，更是应该善于提取复杂现象当中所蕴涵的导数概念。小结: 瞬时速度是平均速度当∆t趋近于0时的极限；切线是割线的极限位置；切线斜率是割线斜率当∆小趋近于0时的极限；这个准确的说是微积分的产生背景，导数其实就是微商，即f'(x)=dy/dx。

从微积分成为一门学科来说，是在十七世纪，但是，微分和积分的思想在古代就已经产生了。公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想。作为微分学基础的极限理论来说，早在古代以有比较清楚的论述。比如我国的庄周所著的《庄子》一书的"天下篇"中，记有"一尺之棰，日取其半，万世不竭"。三国时期的刘徽在他的割圆术中提到"割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣。"这些都