高手支招3综合探究

1.理解函数极大值与极小值时要注意的问题

在定义中,取得极值的点称为极值点,极值点是自变量的值,极值指的是函数值.要注意以下几点:

(1)极值是一个局部概念.由定义,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较大小.

(2)函数的极值不是唯一的.即一个函数在某区间上或定义域内的极大值或极小值可以不止一个.

(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系.即一个函数的极大值未必大于极小值.

(4)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点.

2.关于函数极值的必要条件的证明

设函数f(x)在x0处可导,且在x0处取得极值,则一定有f′(x0)=0.

证明:设f(x0)为极大值,根据极值的定义,在x0的附近,对于任何点x,f(x)＜f(x0)总成立,从而无论Δx=x-x0≥0还是Δx=x-x0≤0,总有f(x0+Δx)-f(x0)≤0,由已知f′(x0)存在,于是有:

当x＞x0,即Δx＞0时,f′(x0)=≤0;

当x＜x0,即Δx＜0时,f′(x0)= ≥0;故f′(x0)=0.

高手支招4典例精析

【例1】(2006天津高考,理9) 函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f′(x)在(a,b)内的图像如图所示,则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点( )

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

思路分析:函数f(x)在开区间(a,b)内的极小值点即函数由减函数变为增函数的点,其导数值由负到正的点,只有1个.

答案:A

【例2】求函数f(x)=x3-3x2-9x+5的极值.

思路分析:由求函数的极值的方法先求其导数,解方程f′(x)=0,分区间讨论f′(x)的符号,进而得函数f(x)的极值.

解:f′(x)=3x2-6x-9=3(x+1)(x-3),

令f′(x)=0,解得x1=-1,x2=3,

∴x＜-1时,f′(x)＞0,函数f(x)递增;-1＜x＜3时,f′(x)＜0,函数f(x)递减;x＞3时,f′(x)＞0,函数f(x)递增.

∴f(x)极大值=f(-1)=10;f(x)极小值=f(3)=-22.

【例3】 (2006湖北高考,理21) 设x=3是函数f(x)=(x2+ax+b)e3-x(x∈R)的一个极值点.

(1)求a与b的关系式(用a表示b),并求f(x)的单调区间;

(2)设a＞0,g(x)=(a2+)ex.若存在ξ1,ξ2∈［0,4］,使得|f(ξ1)-g(ξ2)|＜1成立,求a的取值范围.

思路分析:本题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识,考查综合运用数学知识解决问题的能力.解题时要抓住"x=3是函数的一个极值点"这一重要条件,以此为突破口,求出a与b