(2)若＞1,即c＜-3,同上可得,

f(x)的单调增区间为(-∞,1］，［,+∞);单调减区间为［1,］.

【例5】已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=与x=1时都取得极值.

(1)求a、b的值与函数f(x)的单调区间;

(2)若对x∈［-1,2］,不等式f(x)＜c2恒成立,求c的取值范围.

思路分析:根据"函数在x=与x=1时都取得极值"这一条件,我们可以得出函数在这两点的导数为0,据此列出方程组,求出a、b的值,并求出f′(x)的表达式,进而解决其他问题.

解:(1)f(x)=x3+ax2+bx+c,f′(x)=3x2+2ax+b.

由f′()=-a+b=0,f′(1)=3+2a+b=0得a=,b=-2.

f′(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1),函数f(x)的单调区间如下表:

x (-∞,) (,1) 1 (1,+∞) f(x) + 0 - 0 + f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 所以函数f(x)的递增区间是(-∞,)与(1,+∞),递减区间是(,1).

(2)f(x)=x3x2-2x+c,x∈［-1,2］,当x=时,f()=+c为极大值,

而f(2)=2+c,则f(2)=2+c为f(x)在［-1,2］上的最大值.要使f(x)＜c2(x∈［-1,2］)恒成立,只需c2＞f(2)=2+c,解得c＜-1或c＞2.

【例6】设函数f(x)=ln(x+a)+x2.

(1)若当x=-1时f(x)取得极值,求a的值,并讨论f(x)的单调性;

(2)若f(x)存在极值,求a的取值范围,并证明所有极值之和大于ln.

解:(1)f′(x)=+2x,

依题意有f′(-1)=0,故a=,

从而f′(x)=.

f(x)的定义域为(,+∞).

当＜x＜-1时,f′(x)＞0;

当-1＜x＜时,f′(x)＜0;