几何中的最值问题 　　

　　[典例]　有一块边长为a的正方形铁板，现从铁板的四个角各截去一个相同的小正方形，做成一个长方体形的无盖容器．为使其容积最大，截下的小正方形边长应为多少？

　　[解]　设截下的小正方形边长为x，容器容积为V(x)，则做成的长方体形无盖容器底面边长为a－2x，高为x，

　　V(x)＝(a－2x)2x,0

　　即V(x)＝4x3－4ax2＋a2x,0

　　实际问题归结为求V(x)在区间上的最大值点．

　　为此，先求V(x)的极值点．在开区间内，

　　V′(x)＝12x2－8ax＋a2.

　　令V′(x)＝0，得12x2－8ax＋a2＝0.

　　解得x1＝a，x2＝a(舍去)．

　　x1＝a在区间内，x1可能是极值点．且

　　当00；当x1

　　因此x1是极大值点，且在区间内，x1是唯一的极值点，所以x＝a是V(x)的最大值点．

　　即当截下的小正方形边长为a时，容积最大．