1.4　生活中的优化问题举例

[学习目标]

1．了解导数在解决实际问题中的作用．

2．掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．

[知识链接]

　设两正数之和为常数c，能否借助导数求两数之积的最大值，并由此证明不等式≥(a，b＞0)?

答　设一个正数为x，则另一个正数为c－x，两数之积为

f(x)＝x(c－x)＝cx－x2(0＜x＜c)，f′(x)＝c－2x.

令f′(x)＝0，即c－2x＝0，得x＝.

故当x＝时，f(x)有最大值f＝，即两个正数的积不大于这两个正数的和的平方的.

若设这两个正数分别为a，b，则有≥ab(a＞0，b＞0)，即≥(a，b＞0)，当且仅当a＝b时等号成立．

[预习导引]

1．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．

2．利用导数解决优化问题的实质是求函数最值．

3．解决优化问题的基本思路是

\x(优化问题\x(用函数表示的数学问题

←

上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程．

要点一　用料最省问题

例1　有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40千米的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50千米，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？

解