使得p＝xe1＋ye2＋ze3，我们把x，y，z称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作p＝(x，y，z)，此时向量p的坐标恰是点P在空间直角坐标系Oxyz中的坐标(x，y，z)．

(2)向量p的坐标是把向量p的起点平移到坐标原点O，则\s\up6(→(→)的终点P的坐标就是向量p的坐标，这样就把空间向量坐标化了.

类型一　空间向量的基底

例1　若{a，b，c}是空间的一个基底．试判断{a＋b，b＋c，c＋a}能否作为该空间的一个基底？

解　假设a＋b，b＋c，c＋a共面，则存在实数λ、μ使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，∴a＋b＝λb＋μa＋(λ＋μ)c.

∵{a，b，c}为基底，∴a，b，c不共面．

∴此方程组无解．∴a＋b，b＋c，c＋a不共面．

∴{a＋b，b＋c，c＋a}可以作为空间的一个基底．

反思与感悟　空间向量有无数个基底．判断给出的某一向量组中的三个向量能否作为基底，关键是要判断它们是否共面，如果从正面难以入手，常用反证法或是一些常见的几何图形帮助我们进行判断．

跟踪训练1　以下四个命题中正确的是________．

①空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示；

②若{a，b，c}为空间的一个基底，则a，b，c全不是零向量；

③如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有a与b共线；

④任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底．

答案　②③

解析　因为空间中的任何一个向量都可用其他三个不共面的向量来表示，故①不正确；②正确；由空间向量基本定理可知只有不共线的两向量才可以做基底，故③正确；空间向量基底是由三个不共面的向量组成的，故④不正确．

类型二　用基底表示向量

例2　如图所示，在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，\s\up6(→(→)＝a，\s\up6(→(→)＝b，\s\up6(→(→)＝c，P是CA′的中点，M是CD′的中点，N是C′D′的中点，点Q在CA′上，且CQ∶QA′＝4∶1，用基底{a，b，c}表示以下向量．